Vozli Čebišova

Vôzli Čebišova [~ čebíšova] (tudi vozli Čebiševa) so v matematiki in numerični analizi ničle polinomov Čebišova. Pri izbiri za interpolacijo so zelo pripravni in z njimi se lahko ogne problemom Rungejevega pojava.

Za n vozlov na intervalu [-1, 1] se lahko vozle Čebišova določi kot:

$x_i=\cos \left(\frac{2i-1}{2n}\pi \right),$

kjer je:

$1\le i\le n.$

Za poljuben interval [a, b] se lahko uporabi linearno transformacijo, da se dobi:

$x_i=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a)\cos \left(\frac{2i-1}{2n}\pi \right).$

Dokaz

Naj je T_n polinom Čebišova oblike:

$T_n(x)=\cos (n{\cos }^{-1}(x)).$

Funkcija kosinus ima periodične ničle:

$r_i=(2i-1)\frac{\pi }{2}$

za vsak cel i, kar da:

$T_n(x_i)=\cos (n{\cos }^{-1}(x_i))=\cos (r_i)=0.$

Tako ničle polinomov Čebišova nastopajo pri:

$n{\cos }^{-1}(x_i)=r_i,$

kar se lahko reši za x_i, da se dobi:

$x_i=\cos \left(\frac{2i-1}{2n}\pi \right).$