Heavisidova skočna funkcija

Heavisidova skočna funkcija pri dogovoru, da je vrednost funkcije za x = 0 enaka 1/2

Heavisidova skóčna fúnkcija H, imenovana tudi enôtina stopníca, enôtska skóčna fúnkcija, oziroma ~ koráčna fúnkcija ali kar Heavisidova fúnkcija [hevisájdova ~], je nezvezna funkcija, ki ima vrednost 0 za negativne argumente in 1 za pozitivne. Skoraj nikoli ni pomembno kakšna vrednost se vzame za H(0), ker se $H$ večinoma uporablja kot verjetnostna porazdelitev.

Funkcija se uporablja v matematiki teorije upravljanja in analizi signalov za predstavitev signala, ki se v določenem času prižge in v takšnem stanju ostane neskončno dolgo. Funkcijo so poimenovali v čast angleškega matematika, fizika in elektrotehnika Oliverja Heavisida.

Funkcija je zbirna porazdelitvena funkcija naključne spremenljivke, ki je skoraj gotovo enaka 0.

Heavisidova funkcija je primitivna funkcija Diracove funkcije δ: H′ = δ, kar se zapiše tudi kot:

$H(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t,$

čeprav ta razvoj ne velja (ali nima smisla) za x = 0, kar je odvisno od načina opredelitve pomena integralov za δ.

Nezvezna oblika

Določiti je moč tudi drugo obliko enotske skočne funkcije kot funkcijo diskretne spremenljivke n:

$H[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0\\ 1,& n\ge 0\end{array},n\in \mathbb{Z},$

Nezvezno časovni enotski sunek je prva razlika nezvezno časovnega skoka:

$\delta [n]=H[n]-H[n-1].$

Ta funkcija je zbirna vsota Kroneckerjeve delta:

$H[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^n\delta [k],$

kjer je:

$\delta [k]={\delta }_{k,0},$

nezvezna enotska sunkovna funkcija.

Analitični približki

Za gladko aproksimacijo skočne funkcije se lahko uporabi logistično funkcijo:

$H(x)\approx \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tanh (kx)=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-2kx}},$

kjer večji k odgovarja ostremu prehodu v x = 0. Če vzamemo $H(0)=1/2$, enakost velja v limiti:

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-2kx}}.$

Za skočno funkcijo obstaja več drugih gladkih, analitičnih aproksimacij. Na primer:

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (kx),$

$H(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}(kx).$

Ti približki konvergirajo po točkah k skočni funkciji, drugače pa te porazdelitve ne konvergirajo strogo k porazdelitvi delta. Posebej ima merljiva množica:

$\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[2^{-2n};2^{-2n+1}]$

v porazdelitvi δ mero 0, njena mera pa se pri vsaki družini gladkih aproksimacij veča z naraščajočim k.

Predstavitve

Velikokrat je uporabna integralska oblika Heavisidove skočne funkcije:

$H(x)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }-\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +\mathrm{i}ϵ}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\tau }\mathrm{d}\tau .$

H(0)

Vrednost funkcije v 0 se lahko določi kot H(0) = 0, H(0) = 1/2 ali H(0) = 1. H(0) = 1/2 je najbolj skladna izbira, saj najbolj poveča simetrijo funkcije in postane v celoti skladna s funkcijo predznaka $\mathrm{sgn}(x)$. To vodi do bolj splošne definicije:

$H(x)=\frac{1+\mathrm{sgn}(x)}{2}=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0\end{array}.$

Da se zmanjša dvoumnost katero vrednost vzeti za H(0), se lahko uporabi indeks, ki označuje možno vrednost:

$H_a(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ a,& x=0\\ 1,& x>0\end{array}.$

Primitivna funkcija in odvajanje

Primitivna funkcija Heavisidove skočne funkcije je nagibna funkcija:

$R(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(\xi )\mathrm{d}\xi .$

Odvod Heavisidove skočne funkcije je Diracova funkcija δ:

$\frac{dH(x)}{dx}=\delta (x).$

Fourierova transformacija

Fourierova transformacija Heavisidove skočne funkcije je porazdelitev. Z izbiro konstant za definicijo Fourierove transformacije je:

$\hat{H}(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}xs}H(x)dx=\frac{1}{2}(\delta (s)-\frac{\mathrm{i}}{\pi s}).$

Tukaj je treba člen $1/s$ obravnavati kot porazdelitev, kjer je testna funkcija $\varphi$ Cauchyjeva glavna vrednost $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (x)/xdx$.

Glej tudi

• pravokotniška funkcija
• prehodna funkcija
• porazdelitev delta
• funkcija predznaka
• Laplaceova transformacija