Polinomi Čebišova

Polinómi Čebišova [~ čebíšova] (tudi polinomi Čebiševa) so v matematiki zaporedje ortogonalnih polinomov, ki so povezani z de Moivreovo formulo in jih lahko preprosto določimo rekurzivno kot na primer Fibonaccijeva ali Lucasova števila. Imenujejo se po Pafnutiju Lvoviču Čebišovu. Polinomi Čebišova so dveh vrst: polinomi Čebišova prve vrste, označeni s $T_n$, in polinomi Čebišova druge vrste, označeni z $U_n$. Črka T se uporablja zaradi različnih prečrkovanj priimka Čebišov: Tchebyshef ali Tschebyscheff.

Polinomi Čebišova $T_n$ ali $U_n$ so polinomi stopnje n in zaporedje polinomov Čebišova sestavlja polinomsko zaporedje.

Polinomi Čebišova so pomembni v teoriji približkov, ker se ničle polinomov Čebišova prve vrste, imenovane vozli Čebišova, uporabljajo kot vozli v polinomski interpolaciji. Ustrezna interpolacija zmanjša problem Rungejevega pojava in omogoča aproksimacijo, ki je blizu polinomu z najboljšo aproksimacijo za zvezno funkcijo pod maksimalno normo. Ta aproksimacija vodi neposredno k metodi numerične integracije Clenshaw-Curtisove kvadrature.

Polinomi Čebišova prve in druge vrste so rešitve enačb Čebišova:

$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+n^{2}y=0$

in:

$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-3x\frac{dy}{dx}+n(n+2)y=0.$

Ti enačbi sta poseben primer Sturm-Liouvillove diferencialne enačbe.