Pogojna verjetnostna porazdelitev

Pogojna verjetnostna porazdelitev povezuje dve verjetnostni porazdelitvi nezveznih ali zveznih slučajnih spremenljivk.

Naj bosta slučajni spremenljivki označeni z X in Y. V opisu pogojne verjetnostne porazdelitve jo označujemo s Y | X, kar pomeni porazdelitev verjetnosti za spremenljivko Y, pod pogojem, da je znana porazdelitev verjetnosti za slučajno spremenljivko X (podobno zapisu za pogojno verjetnosti P(A|B) ali verjetnost, da se je zgodi dogodek A pod pogojem, da se je že zgodil dogodek B). Pogojna verjetnostna porazdelitev spremenljivke Y je podana kot porazdelitev spremenljivke Y pod pogojem, da je druga spremenljivka X zavzela določeno vrednost (če ima spremenljivka X vrednost x_i, j =1, 2, …n_x , potem ima spremenljivka Y vrednost y_j j =1, 2, …n_y.

Nezvezne slučajne spremenljivke

Za diskretne (nezvezne) slučajne spremenljivke zapišemo verjetnost kot P(Y = y | X = x).

Z uporabo zapisa pogojne verjetnosti lahko to zapišemo kot

$p_{Y\mid X}=P(Y=y_i\mid X=x_j)=\frac{P(X=x_i\cap Y=y_j)}{P(X=x_i)}=\frac{P(X=x_i\mid Y=y_j)P(Y=y_i)}{P(X=x_j)}.$

Velja tudi

$0\le p_{Y\mid X}(x_i\mid y_j)\le 1$

in

$\sum _{i=1}^{n_x}\sum _{j=1}^{n_y}{p}_{Y\mid X}(x_i\mid y_j)=1$.

Zvezne slučajne spremenljivke

Podobno velja za zvezne porazdelitve, kjer lahko zapišemo

$p_{Y\mid X}(x_i\mid y_j)=\frac{p_{X,Y}(x_i,y_j)}{p_X(x)}=\frac{p_{X\mid Y}(x\mid y)p_Y(y)}{p_X(x)},$

kjer smo s p_X,Y(x, y) označili multivariantno porazdelitev (povezano porazdelitev) samo dveh (možnih jih je več) spremenljivk X in Y, p_X(x) pa označuje robno porazdelitev za slučajno spremenljivko X.

Velja

$0\le f_{XY}(x,y)$

in seveda tudi

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{XY}(x,y),dx,dy=1$

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev