Diagonalna matrika

Diagonalna matrika je kvadratna matrika v kateri so vsi elementi zunaj glavne diagonale enaki 0. Pri tem pa so elementi diagonale enaki nič ali pa tudi ne.

Za matriko $D$ z elementi $d_{ij}$ to pomeni

$d_{i,j}=0\text{ kadar je }i\ne j\mathrm{\forall }i,j\in \{1,2,\dots ,n\}.$.

Diagonalno matriko lahko zapišemo tudi kot

$a_{ij}=a_i{\delta }_{ij}$,

kjer je

• ${\delta }_{ij}$ Kroneckerjeva delta.

Diagonalne matrike tudi označujemo malo drugače. Zgornjo matriko lahko zapišemo tudi kot:

$D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_{11},d_{22,}\dots ,d_{nn})=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& d_{22}& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& d_{nn}\end{array}\right]$.

Enotska matrika je simetrična matrika.

Primeri

Primer diagonalne matrike

$D=\left[\begin{array}{cccc}{d}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& d_{22}& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right],$

Primeri nekaterih posebnih diagonalnih matrik.

Ničelna matrika

$0=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{0,0,\dots ,0\}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right],$

ter enotska matrika

$E=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\{1,1,\dots ,1\}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right],$

Lastnosti

• Diagonalna matrika je simetrična, ker zanjo velja

$D^T=D$.

• Rang diagonalne matrike je enak številu neničelnih elementov, ki se nahajajo na glavni diagonali
• Determinanta diagonalne matrike je enak zmnožku elementov na glavni diagonali.

Skalarna matrika

Diagonalna matrika, ki ima na diagonali vse elemente enake, se imenuje skalarna matrika. Dobimo jo z množenjem skalarja z enotsko matriko. Primer:

$\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right].$.

Inverzna matrika diagonalne

Diagonalna matrika

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(a_1,a_2,...,a_k)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& \dots & 0\\ 0& a_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \dots & 0& a_k\end{array}\right)$

ima inverzno obliko

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1/a_1& 0& \dots & 0\\ 0& 1/a_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \dots & 0& 1/a_k\end{array}\right)$.

Pravokotne matrike

Pojem diagonalna matrika lahko (zelo redko) razširimo tudi na pravokotne matrike, ki imajo $m\times n$ elementov. Dva primera takšnih matrik

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& -3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

in

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 4& 0& 0& 0\\ 0& 0& -3& 0& 0\end{array}\right].$.

Zunanje povezave

• Diagonalna matrika na MathWorld Predloga:Ikona en