Funkcija gama

Graf funkcije Γ na realni premici

Absolutna vrednost funkcije Γ v kompleksni ravnini

Razširjena različica funkcije Γ v kompleksni ravnini

Fúnkcija gáma (tudi Eulerjeva funkcija gama),je v matematiki specialna funkcija, ki razširja pojem fakultete na kompleksna števila. Zapisa se je domislil Adrien-Marie Legendre, funkcijo samo pa je uvedel Leonhard Euler. Če je realni del kompleksnega števila z pozitiven, potem integral:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$

konvergira absolutno. Z integracijo po delih je moč pokazati, da velja:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z).$

Ker je Γ(1) = 1, odtod sledi:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$

za vsa naravna števila n. Z analitičnim nadaljevanjem je moč razširiti Γ(z) v meromorfno funkcijo definirano za vsa kompleksna števila z razen z = 0, −1, −2, −3, ..., kjer ima pol. Funkcija gama se imenuje ta razširjena različica.

Funkcija gama nima ničel. Morda najbolj znana vrednost funkcije gama pri necelih številih je:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }.$

Funkcija gama ima pol reda 1 pri z = −n za vsako naravno število n; residuum je tam podan kot:

$\mathrm{Res}(\mathrm{\Gamma },-n)=\frac{(-1{)}^n}{n!}.$

Naslednja multiplikativna oblika funkcije gama velja za vsa kompleksna števila z, ki niso nepozitivna cela števila:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n}.$

Tu je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Iz funkcionalne enačbe lahko izpeljemo:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }\left(x\right)& =\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{x}=\frac{\mathrm{\Gamma }(x+2)}{x(x+1)}=\dots \\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(x+k+1)}{x(x+1)(x+2)\dots (x+k)},\end{array}$

od koder sledi, da ima funkcija pri negativnih celih argumentih in pri argumentu enakem 0 pole lihe stopnje.

Posebne vrednosti funkcije Γ

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Gamma }(-3/2)& =\frac{4\sqrt{\pi }}{3}& \approx 2,363\\ \mathrm{\Gamma }(-1/2)& =-2\sqrt{\pi }& \approx -3,545\\ \mathrm{\Gamma }(1/2)& =\sqrt{\pi }& \approx 1,772\\ \mathrm{\Gamma }(1)& =0!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(3/2)& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}& \approx 0,886\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =1!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(5/2)& =\frac{3\sqrt{\pi }}{4}& \approx 1,329\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =2!& =2\\ \mathrm{\Gamma }(7/2)& =\frac{15\sqrt{\pi }}{8}& \approx 3,323\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =3!& =6\end{array}$

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld