Kofaktor (matematika)

Kofaktor (oznaka $C_{ij}$ za element $a_{ij}$ matrike $A$) (tudi adjunkt ali adjunkta) je v linearni algebri poddeterminanta s predznakom. Uporablja se za izračun vrednosti determinant in obratnih matrik. Vsakemu elementu $(i,j)$ matrike lahko pripišemo kofaktor. Kofaktor je vrednost poddeterminante s predznakom.

Poddeterminanta in kofaktor

Elementu $a_{ij}$, ki pripada matriki $A$, lahko pripišemo poddeterminanto $M_{ij}$ tako, da izbrišemo i-tovrstico in j-ti stolpec. Če je $i+j$ parno število, je kofaktor $C_{ij}$ enak poddeterminanti:

$C_{ij}=M_{ij}.$

Če pa je $i+j$ liho število, je enak nasprotni vrednosti poddeterminante

$C_{ij}=-M_{ij}.$

V splošni obliki to lahko zapišemo kot

$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

kjer je

• $C_{ij}$ kofaktor elementa $a_{ij}$
• $M_{ij}$ poddeterminanta elementa $a_{ij}$.

Primer

Če imamo matriko

$B=\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]$

in želimo poiskati kofaktor $C_{23}$. V tem primeru dobimo poddeterminanto $M_{23}$ zgornje matrike, če odstranimo 2. vrstico in 3. stolpec je

$M_{23}=\left|\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ b_{31}& b_{32}& ◻\end{array}\right|$

Kjer je z $◻$ označen element, ki ga brišemo.

To nam da $M_{23}=\left|\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right|=b_{11}{b}_{32}-b_{31}{b}_{12}$

Iz tega sledi, da so kofaktorji enaki

$C_{23}=(-1{)}^{2+3}(M_{23})$

$C_{23}=(-1{)}^5(b_{11}{b}_{32}-b_{31}{b}_{12})$

$C_{23}=b_{31}{b}_{12}-b_{11}{b}_{32}.$.

Razvoj determinante

Predloga:Glavni Če imamo matriko $n\times n$ z elementi

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$ ,

lahko vrednost pripadajoče determinante izračunamo z razvojem po j-tem stolpcu:

$\det (A)=a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+a_{3j}{C}_{3j}+...+a_{nj}{C}_{nj}$

Lahko pa jo izračunamo tudi z razvojem po i-ti vrstici

$\det (A)=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+a_{i3}{C}_{i3}+...+a_{in}{C}_{in}$

Matrika kofaktorjev

Matrika kofaktorjev matrike $A$ z $n\times n$ je matrika, ki ima za elemente kofaktorje $C_{ij}$.

Primer: matrika

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$

ima naslednjo matriko kofaktorjev

$C=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1n}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{n1}& C_{n2}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]$

kjer je

• $C_{ij}$ kofaktor elementa $a_{ij}$.

Adjungirana matrika

Predloga:Glavni Adjungirana matrika se uporablja za določanje obratne matrike $A$.

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det 𝐀}\text{adj}(𝐀)$.

Adjungirana matrika je matrika kofaktorjev, ki smo jo transponirali.

Primer:
Matrika kofaktorjev

$\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1n}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{n1}& C_{n2}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right]$,

ki jo transponiramo je

$\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{21}& \cdots & C_{n1}\\ C_{12}& C_{22}& \cdots & C_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{1n}& C_{2n}& \cdots & C_{nn}\end{array}\right].$

kjer je

• $\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(A)$ adjungirana matrika matrike $A$.

Zunanje povezave

• Matematika za biologe Predloga:Ikona sl
• Kalkulator za določanje kofaktorjev Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Predloga:MathWorld