Cramerjevo pravilo

Cramerjevo pravilo se uporablja v linearni algebri za reševanje sistema linearnih enačb, ki vsebuje toliko enačb kot je v sistemu neznank. Pravilo je uporabno samo, če obstaja ena rešitev.

Imenuje se po švicarskem matematiku Gabrielu Cramerju (1704 – 1752), ki ga je objavil leta 1750.

Uporabljamo ga lahko tudi za druge vrste števil (obsege) in ne samo za realna števila. Pravilo je neprimerno za uporabo pri sistemih z večjim številom neznank. Za takšne primere je boljše, če uporabimo katero izmed drugih metod reševanja sistema linearnih enačb (npr. Gaussova eliminacijska metoda).

Opis pravila

Predpostavimo, da imamo sistem n linearnih enačb

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$

To lahko zapišemo v matrični obliki kot

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

ali

$Ax=B$.

V tem primeru dobimo rešitve kot

$x_i=\frac{\det (A_i)}{\det (A)}i=1,\dots ,n$ .

kjer je

• $A_i$ matrika, kjer smo i-ti stolpec nadomestili stolpcem $B$.
• $A$ matrika sistema, ki ima za elemente koeficiente spremenljivk

Zgled

Imamo naslednji sistem linearnih enačb

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}$

ali

$Ax=B$.

Determinante, ki jih potrebujemo za izračun rešitev sistema linearnih enačb, so:

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|,{\mathrm{\Delta }}_1=\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& a_{12}& a_{13}\\ b_2& a_{22}& a_{23}\\ b_3& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|,{\mathrm{\Delta }}_2=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& b_1& a_{13}\\ a_{21}& b_2& a_{23}\\ a_{31}& b_3& a_{33}\end{array}\right|,{\mathrm{\Delta }}_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& b_2\\ a_{31}& a_{32}& b_3\end{array}\right|$

Rešitev sistema je:

$x_1=\frac{{\mathrm{\Delta }}_1}{\mathrm{\Delta }},x_2=\frac{{\mathrm{\Delta }}_2}{\mathrm{\Delta }},x_3=\frac{{\mathrm{\Delta }}_3}{\mathrm{\Delta }}$

kjer je

• $\mathrm{\Delta }$ vrednost determinante $A$
• ${\mathrm{\Delta }}_1$ determinanta matrike $A$, kjer je prvi stolpec zamenjan s stolpcem $B$
• ${\mathrm{\Delta }}_2$ determinanta matrike $A$, kjer je drugi stolpec zamenjan s stolpcem $B$
• ${\mathrm{\Delta }}_3$ determinanta matrike $A$, kjer je tretji stolpec s stolpcem $B$

V nadaljevanju je prikazan zgled reševanja sistema enačb

$\begin{array}{c}82x_1+45x_2+9x_3=1\\ 27x_1+16x_2+3x_3=1\\ 9x_1+5x_2+1x_3=0\end{array}$

Razširjena matrika sistema enačb je:

$\left(\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}82& 45& 9& 1\\ 27& 16& 3& 1\\ 9& 5& 1& 0\end{array}\right)$

Po Cramerjevem pravilu dobimo rešitve sistema enačb:

$x_1=\frac{\det (A_1)}{\det (A)}=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1& 45& 9\\ 1& 16& 3\\ 0& 5& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}82& 45& 9\\ 27& 16& 3\\ 9& 5& 1\end{array}\right|}=\frac{1}{1}=1$

$x_2=\frac{\det (A_2)}{\det (A)}=\frac{\left|\begin{array}{ccc}82& 1& 9\\ 27& 1& 3\\ 9& 0& 1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}82& 45& 9\\ 27& 16& 3\\ 9& 5& 1\end{array}\right|}=\frac{1}{1}=1$

$x_3=\frac{\det (A_3)}{\det (A)}=\frac{\left|\begin{array}{ccc}82& 45& 1\\ 27& 16& 1\\ 9& 5& 0\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{ccc}82& 45& 9\\ 27& 16& 3\\ 9& 5& 1\end{array}\right|}=\frac{-14}{1}=-14$.

Zunanje povezave

• Determinante in Cramerjevo pravilo Predloga:Webarchive Predloga:Ikona sl
• Predloga:MathWorld
• Cramerjevo pravilo Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Geometrijska razlaga Cramerjevega pravila s simulacijo Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en