Razširjena matrika

Razširjena matrika je v linearni algebri matrika, ki se dobi z dodajanjem stolpcev dani matriki. To naredimo zaradi izvajanja istih elementarnih vrstičnih operacij na obeh matrikah.

Definicija

Za dani matriki $A$ in $B$

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 0& 1\\ 5& 2& 2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ 1\end{array}\right].$

se razširjena matrika piše kot $(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 4\\ 2& 0& 1& 3\\ 5& 2& 2& 1\end{array}\right].$.

Takšen način pisanja je zelo uporaben pri reševanju sistema linearnih enačb in pri določanju obratnih matrik.

Zgledi

Določanje obratne matrike

Imamo kvadratno matriko z razsežnostjo $2\times 2$

$C=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ -5& 0\end{array}\right].$.

Za določanje obratne matrike moramo narediti razširjeno matriko $C|I$, kjer je $I$ enotska matrika z razsežnostjo $2\times 2$. Za iskanje obratne matrike $C^{-1}$ moramo v delu, ki pripada delu za $C$, opraviti takšne elementarne operacije, da na levi strani dobimo enotsko matriko. $(C|I)=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ -5& 0& 0& 1\end{array}\right]$

$(I|C^{-1})=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{1}{5}\\ 0& 1& \frac{1}{3}& \frac{1}{15}\end{array}\right]$.

Reševanje sistema linearnih enačb

Dane imamo tri linearne enačbe

$\begin{array}{cc}{x}_1+2x_2+3x_3& =0\\ 3x_1+4x_2+7x_3& =2\\ 6x_1+5x_2+9x_3& =11\end{array}$

To pa odgovarja naslednjim matrikam

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 4& 7\\ 6& 5& 9\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 11\end{array}\right].$

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 0\\ 3& 4& 7& 2\\ 6& 5& 9& 11\end{array}\right],$

ali

$(A|B)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 4\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& -2\end{array}\right].$

To pomeni, da so rešitve zgornjega sistema linearnih enačb

$x_1=4$

$x_2=1$

$x_3=-2$.

Zunanje povezave

• Razširjena matrika na Mathwords Predloga:Ikona en
• Razširjena matrika na Paul's Online Math Notes Predloga:Ikona en