Midyjev izrek

Midyjev izrek v matematiki obravnava desetiški razvoj ulomkov oblike a/p, kjer je p praštevilo, ulomek a/p pa je okrajšani neskončni desetiški ulomek s sodo periodo.^[1] Imenuje se po francoskem matematiku E. Midyju.^[2] Če je perioda desetiškega razvoja ulomka a/p v intervalu (0,1) enaka 2n, velja $a = 1$ in:

\frac{1}{p} = 0, \overline{a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} a_{n + 1} \dots a_{2 n}},

števke v drugi polovici ponavljajoče desetiške periode pa so komplementarne glede na 9 z odgovarjajočimi števkami v prvi polovici, oziroma:

a_{i} + a_{i + n} = 9,

a_{1} \dots a_{n} + a_{n + 1} \dots a_{2 n} = 1 0^{n} - 1 .

Ta značilnost se imenuje tudi Midyjeva značilnost ali značilnost devetic.^[3] Vodilne ničle v nizih zanemarjamo.

Na primer:

\frac{1}{7} = 0, \overline{142857} in 142 + 857 = 999,

\frac{1}{11} = 0, \overline{09} in 0 + 9 = 9,

\frac{1}{13} = 0, \overline{076923} in 076 + 923 = 999,

\frac{1}{17} = 0, \overline{0588235294117647} in 05882352 + 94117647 = 99999999 .

Prva najmanjša praštevila za katera velja Midyjev izrek so Predloga:OEIS:

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 73, 89, 97, 101, 103, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 193, 197, 211, ...

Midyjev izrek za nekatera sestavljena števila

Midyjev izrek velja tudi za nekatere potence praštevil in za sestavljena števila m, deljiva z $1 0^{p} + 1$ .^[1]^[4] Na primer:

\begin{matrix} \frac{1}{7^{2}} & = \frac{1}{49} = 0, \overline{020408163265306122448979591836734693877551} \\ in 020408163265306122448 + 979591836734693877551 = 999999999999999999999, \end{matrix}

\frac{1}{1 1^{2}} = \frac{1}{121} = 0, \overline{0082644628099173553719} in 00826446280 + 99173553719 = 99999999999,

Na primer $1 0^{3} + 1 = 7 \cdot 11 \cdot 13 = 1001$ imajo poleg praštevil 7, 11 in 13 Midyjevo značilnost tudi njihovi produkti 77, 91, 143 in 1001:

\frac{1}{77} = 0, \overline{012987} in 12 + 987 = 999,

\frac{1}{91} = 0, \overline{010989} in 10 + 989 = 999,

\frac{1}{143} = 0, \overline{006993} in 6 + 993 = 999 .

Midyjev izrek velja tudi za nekatera sestavljena števila, ki so mnogokratniki praštevil s sodimi dolžinami period:

14, 22, 26, 28, 34, 35, 38, 44, 46, 52, 55, 56, 58, 65, 68, 70, 76, 85, 88, 92, 94, 95, 98, ...

ne velja pa za mnogokokratnike, kot so:

21, 33, 39, 42, 51, 57, 63, 66, 69, 78, 84, 87, 99, 102, ...

Prva najmanjša števila za katera velja Midyjev izrek so tako Predloga:OEIS:

7, 11, 13, 14, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29, 34, 35, 38, 44, 46, 47, 49, 52, 55, 56, 58, 59, 61, 65, 68, 70, 73, 76, 77, 85, 88, 89, 91, 92, 94, 95, 97, 98, ...

Razširjeni Midyjev izrek

Če je k delitelj dolžine sode periode ulomka a/p (p praštevilo), razširjeni Midyjev izrek pravi, da je vsota nizov po k števk enaka mnogokratniku $1 0^{k} - 1$ .^[5] Poleg tega velja tudi, če je k enak 2 ali 3, je vsota nizov točno enaka $1 0^{k} - 1$ .

Na primer:

\frac{1}{7} = 0, \overline{142857},

Če razdelimo niz periode na dele z 2 ali 1 števko, dobimo:

14 + 28 + 57 = 99 (\equiv 0 (\mod 1 0^{2} - 1))

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 = 3 \cdot 9 (\equiv 0 (\mod 1 0^{1} - 1)) .

\frac{1}{17} = 0, \overline{0588235294117647} .

Če razdelimo niz periode (dolžina periode je 17-1=16) na dele s 4, 2 ali 1 števko, dobimo

0588 + 2352 + 9411 + 7647 = 1998 = 2 \cdot 9999 (\equiv 0 (\mod 1 0^{4} - 1))

05 + 88 + 23 + 52 + 94 + 11 + 76 + 47 = 396 = 4 \cdot 99 (\equiv 0 (\mod 1 0^{2} - 1))

0 + 5 + 8 + 8 + 2 + 3 + 5 + 2 + 9 + 4 + 1 + 1 + 7 + 6 + 4 + 7 = 72 = 8 \cdot 9 (\equiv 0 (\mod 1 0^{1} - 1)) .

\frac{1}{19} = 0, \overline{052631578947368421},

kjer je dolžina periode enaka 19-1=18. Če razdelimo niz periode na dele s 6, 3, 2 ali 1 števko, dobimo:

052631 + 578947 + 368421 = 999999 (\equiv 0 (\mod 1 0^{6} - 1))

052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 \cdot 999 (\equiv 0 (\mod 1 0^{3} - 1))

05 + 26 + 31 + 57 + 89 + 47 + 36 + 84 + 21 = 396 = 4 \cdot 99 (\equiv 0 (\mod 1 0^{2} - 1))

0 + 5 + 2 + 6 + 3 + 1 + 5 + 7 + 8 + 9 + 4 + 7 + 3 + 6 + 8 + 4 + 2 + 1 = 81 = 9 \cdot 9 (\equiv 0 (\mod 1 0^{1} - 1)) .

Midyjev izrek za druge osnove

Midyjev izrek in njegova razširitev nista odvisna od posebnih značilnosti desetiškega razvoja, tako da veljata v poljubni osnovi b, kjer 10^k − 1 nadomesti b^k − 1, seštevanje pa poteka v osnovi b. Na primer osmiško:

\frac{1}{19} = 0, {\overline{032745}}_{8}

03 2_{8} + 74 5_{8} = 77 7_{8}

0 3_{8} + 2 7_{8} + 4 5_{8} = 7 7_{8} .

Dokaz Midyjevega izreka

Midyjev izrek se lahko dokaže s prijemi teorije grup, pa tudi z elementarno algebro in modularno aritmetiko.

Naj je p praštevilo, a/p pa ulomek med 0 in 1. Predpostavimo, da ima perioda v razvoju ulomka a/p v osnovi b dolžino ℓ, kar da:

\begin{matrix} \frac{a}{p} = [0, \overline{a_{1} a_{2} \dots a_{ℓ}}]_{b} \\ \Rightarrow \frac{a}{p} b^{ℓ} = [a_{1} a_{2} \dots a_{ℓ} . \overline{a_{1} a_{2} \dots a_{ℓ}}]_{b} \\ \Rightarrow \frac{a}{p} b^{ℓ} = N + [0, \overline{a_{1} a_{2} \dots a_{ℓ}}]_{b} = N + \frac{a}{p} \\ \Rightarrow \frac{a}{p} = \frac{N}{b^{ℓ} - 1} \end{matrix}

kjer je N celo število, katerega razvoj v osnovi b je niz a₁a₂...a_ℓ.

b^ℓ − 1 je mnogokratnik p, ker je(b^ℓ − 1)a/p celo število. Poleg tega bⁿ−1 ni mnogokratnik p za katerokoli vrednost n manjšo od ℓ, saj bi bila potem dolžina ponavljajoče se periode ulomka a/p v osnovi b manjša od ℓ.

Naj je sedaj ℓ = hk. Potem je b^ℓ − 1 mnogokratnik b^k − 1. Naj je b^ℓ − 1 = m(b^k − 1), tako, da velja:

\frac{a}{p} = \frac{N}{m (b^{k} - 1)} .

b^ℓ − 1 je mnogokratnik p; b^k − 1 ni mnogokratnik p (ker je k manj kot ℓ ); p pa je praštevilo, zato mora biti m mnogokratnik p,

\frac{a m}{p} = \frac{N}{b^{k} - 1}

pa je celo število. Tako je:

N \equiv 0 (\mod b^{k} - 1) .

Sedaj razdelimo niz a₁a₂...a_ℓ na h enakih delov dolžine k, in ti naj predstavljajo cela števila N₀...N_h − 1 v osnovi b, tako, da je:

\begin{matrix} N_{h - 1} & = [a_{1} \dots a_{k}]_{b} \\ N_{h - 2} & = [a_{k + 1} \dots a_{2 k}]_{b} \\ ⋮ \\ N_{0} & = [a_{l - k + 1} \dots a_{l}]_{b} \end{matrix}

Za dokaz razširjenega Midyjevega izreka v osnovi b moramo pokazati, da je vsota h celih števil N_i mnogokratnik b^k − 1.

Ker je b^k kongruentno 1 modulo b^k − 1, bo tudi vsaka potenca b^k kongruentna 1 modulo b^k − 1. Zato:

N = \sum_{i = 0}^{h - 1} N_{i} b^{i k} = \sum_{i = 0}^{h - 1} N_{i} (b^{k})^{i}

\Rightarrow N \equiv \sum_{i = 0}^{h - 1} N_{i} (\mod b^{k} - 1)

\Rightarrow \sum_{i = 0}^{h - 1} N_{i} \equiv 0 (\mod b^{k} - 1),

kar dokazuje razširjeni Midyjev izrek v osnovi b.

Za dokaz izvirnega Midyjevega izreka vzamemo posebni primer, kjer je h = 2. N₀ in N₁ sta oba predstavljena z nizoma s k števkami v osnovi b, tako da za oba velja: