Cayley-Dicksonova konstrukcija

Cayley-Dicksonova konstrukcija omogoča tvorbo zaporedja algeber nad obsegom realnih števil tako, da ima vsaka algebra dvakratno razsežnost predhodne.

Algebre, ki se jih tvori na ta način, se imenujejo Cayley-Dicksonove algebre, ker razširjajo kompleksna števila na hiperkompleksna števila. Vse te algebre vsebujejo involucijo.

Kompleksna števila kot urejeni pari

Kompleksna števila se lahko zapiše kot urejeni par $(a,b)$ realnih števil $a$ in $b$. Pri tem se izvaja seštevanje komponenta za komponento, množenje pa je določeno kot:

$(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).$

Vidi se, da je kompleksno število z ničelno drugo komponento enako realnemu številu, kar pomeni, da je $(a,0)$ realno število.

Konjugirano število

Konjugirano število $(a,b{)}^{*}=(a,-b)$. Za konjugirana števila velja značilnost:

$(a,b{)}^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^2+b^2,0).$

To pa je nenegativno realno število. Tako konjugacija definira normo. Zaradi tega tvorijo kompleksna števila normirani vektorski prostor nad realnimi števili.

Normo kompleksnega števila $z$ se izračuna kot:

$|z|=(z^{*}z{)}^{1/2},$

Obratna vrednost pa je:

$z^{-1}=\frac{z^{*}}{|z{|}^2}.$

Kvaternioni

Kvaternione se dobi s pomočjo podobnega postopka.

Uporabi se urejeni par $(a,b)$ kompleksnih števil $a$ in $b$. Množenje se definira kot :

$(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+b{c}^{*}).$

Konjugirana vrednost para $(a,b)$ je določena kot:

$(a,b{)}^{*}=(a^{*},-b).$

Produkt tega števila s svojo konjugirano vrednostjo je:

$(a,b{)}^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+b^{*}b,b{a}^{*}-b{a}^{*})=(|a{|}^2+|b{|}^2,0).$ To pa je nenegativno število. Pari teh števil tvorijo algebro, ki je podobna algebri realnih števil. Te vrste števila se imenujejo kvaternioni.

Oktonioni

Postopek se lahko nadaljuje na podoben način. Urejeni par $(p,q)$ dveh kvaternionov $p$ in $q$. Množenje in konjugiranje se definira enako kot za kvaternione. Urejeni par $(p,q)$ kvaternionov $p$ in $q$.

$(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+q{r}^{*}).$

Velja:

$(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+q{r}^{*}).$

Pri tem je treba upoštevati, da kvaternioni niso komutativni.

Algebro oktonionov je odkril irski pravnik in matematik John Thomas Graves (1806 – 1870). Oktonione imenujejo tudi Cayleyjeva števila.

Naslednje algebre

Algebra, ki sledi algebri oktonionov je algebra sedenionov. V tej algebri velja potenčna asociativnost. To pa pomeni, da za sedenion $s$ velja $s^n{s}^m=s^{n+m}$.

Cayley-Dicksonova konstrukcija se lahko nadaljuje do neskončnosti. Vsak naslednji korak da novo algebro, ki je potenčno asociativna, njena razsežnost pa je dvakrat večja od predhodne.

Zunanje povezave

• Zgodovina hiperkompleksnih števil Predloga:Ikona en
• Cayley-Dicksonova konstrukcija Predloga:Ikona en
• Cayley-Dicksonova konstrukcija Predloga:Webarchive na PlanethMath Predloga:Ikona en