Stopnja polinoma

Stopnja polinoma je enaka najvišji potenci med vsemi členi z neničelnim koeficientom v polinomu, ki se ga izrazi v kanonski obliki (to pomeni kot vsoto oziroma razliko posameznih členov). Stopnja posameznih členov je enaka vsoti potenc posameznih spremenljivk v členu. Zgled: polinom $7x^2{y}^3+4x+9$ (polinom se lahko piše kot $7x^2{y}^3+4x^1{y}^0-9x^0{y}^0)$, ki ima tri člene. Prvi člen ima stopnjo 5 (2 + 3), drugi člen ima stopnjo 1, zadnji člen pa ima stopnjo 0. To pomeni, da ima polinom stopnjo 5.

Imena polinomov po stopnji

Spodaj so navedena imena polinomov za posamezne stopnje :

• stopnja 0 – konstanta
• stopnja 1 – linearni polinom
• stopnja 2 – kvadratni polinom
• stopnja 3 – kubični polinom
• stopnja 4 – kvartični polinom (ali redkeje bikvadratni)
• stopnja 5 – kvintični polinom
• stopnja 6 – sekstični polinom (ali redkeje heksični)
• stopnja 7 – septični polinom (ali redkeje heptični)
• stopnja 8 – oktični polinom
• stopnja 9 – nonični polinom
• stopnja 10 – decični polinom
• stopnja 100 – hektični polinom

Stopnja vsote, razlike, produkta in kompozituma polinomov

Stopnja vsote ali razlike dveh polinomov je enaka ali manjša njihovih stopenj:

$\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}(P)\mathrm{deg}(Q)),$

$\mathrm{deg}(P-Q)\le \max (\mathrm{deg}(P)\mathrm{deg}(Q)),$

kjer je:

• z $\mathrm{deg}()$ označena stopnja (tudi v nadaljevanju).

Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti njunih stopenj:

$\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}(P)+\mathrm{deg}(Q).$

Stopnja kompozituma dveh polinomov je enaka produktu njunih stopenj:

$\mathrm{deg}(P\circ Q)=\mathrm{deg}(P)\mathrm{deg}(Q).$

Stopnja ničelnega polinoma

Funkcija $f(x)=0$ je tudi polinom, ki se imenuje ničelni polinom.

Stopnja nekaterih drugih funkcij

Stopnja polinoma $f$ se lahko izračuna tudi s pomočjo obrazca:

$\mathrm{deg}f=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log |f(x)|}{\log x}.$

Ta obrazec posplošuje pojem stopnje tako, da se lahko določi stopnjo za funkcije, ki niso polinomi.

Primeri:

• recipročna vrednost ($1/x$) ima stopnjo enako -1
• kvadratni koren ($\sqrt{x}$) ima stopnjo enako 1/2
• logaritem ($\log x$) ima stopnjo 0
• eksponentna funkcija ($e^x$ ali $\exp x$) ima stopnjo $\mathrm{\infty }$.

Drugi obrazec, ki omogoča izračunavanje stopnje pa je:

$\mathrm{deg}f=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}.$

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Stopnja polinoma v Art of Problem Solving Predloga:Ikona en