Inverzna krivulja

Krivuljo srčnico (zeleno) dobimo z inverzijo parabole (rdeče) s pomočjo krožnice (črtkano).

Inverzna krivulja (tudi obratna krivulja) je v geometriji za dano krivuljo $C$ rezultat uporabe operacije inverzije, ki jo izvedemo za krivuljo $C$.

Opis

Dano imamo fiksno krožnico s središčem v $O$ in polmerom $r$. Inverzno (obratno) točko $Q$ točke $P$, ki leži na daljici QO in zanjo velja $OP.PQ=k^2$. Geometrijsko mesto točk $P$, ko se giblje $Q$ po krivulji $C$, se imenuje inverzna krivulja krivulje $C$. Točka $O$ se imenuje središče inverzije, krog imenujemo krog inverzije, vrednost $k$ pa je polmer inverzije.

Če inverzijo uporabimo dvakrat, dobimo identično preslikavo.

Oblike

Inverzna točka glede na enotski krog, ki ima koordinate središča $(X,Y)$ ima koordinate

$X=\frac{x}{x^2+y^2},Y=\frac{y}{x^2+y^2},$

ali, kar je enakovredno

$x=\frac{X}{X^2+Y^2},y=\frac{Y}{X^2+Y^2}.$.

Tako za inverzno funkcijo, ki je določena z $f(x,y)=0$, glede na enotski krog, dobimo

$f(\frac{X}{X^2+Y^2},\frac{Y}{X^2+Y^2})=0.$.

Iz tega se vidi, da je za algebrsko funkcijo stopnje $n$ zopet algebrska funkcija, ki ima najmanj stopnjo $2n$.

Recimo, da je funkcija dana v parametrični obliki kot

$x=x(t),y=y(t)$. V tem primeru lahko pišemo inverzno obliko glede na enotski krog kot

$X=X(t)=\frac{x(t)}{x(t{)}^2+y(t{)}^2},Y=Y(t)=\frac{y(t)}{x(t{)}^2+y(t{)}^2}.$.

To pomeni, da je inverzna krivulja racionalne krivulje zopet racionalna krivulja.

Bolj splošno je inverzna krivulja dane krivulje, ki je določena z $f(x,y)=0$ glede na krožnico s središčem v (a, b) in polmerom k določena z enačbo

$f(a+\frac{k^2(X-a)}{(X-a{)}^2+(Y-b{)}^2},b+\frac{k^2(Y-b)}{(X-a{)}^2+(Y-b{)}^2})=0.$

Inverzna krivulja, ki pa je dana parametrično z enačbama

$x=x(t),y=y(t)$,

je glede na neko krožnico, je dana kot

$X=X(t)=a+\frac{k^2(x(t)-a)}{(x(t)-a{)}^2+(y(t)-b{)}^2},Y=Y(t)=b+\frac{k^2(y(t)-b)}{(x(t)-a{)}^2+(y(t)-b{)}^2}.$

V polarnem koordinatnem sistemu so enačbe enostavnejše, če je krožnica inverzije enotska krožnica. Inverzna točka $f(r,\theta )$ glede na enotsko krožnico $f(r,\mathrm{\Theta })$ kjer je

$R=\frac{1}{r},\mathrm{\Theta }=\theta ,$

ali

$r=\frac{1}{R},\theta =\mathrm{\Theta }.$

Tako je enačba inverzne krivulje za dano krivuljo $f(r,\theta )$ določena kot $f(1/R,\mathrm{\Theta })=0$ in inverzna krivulja krivulje $r=g(\theta )$ je enaka $r=1/g(\theta )$.

Zgledi

Uporabimo zgornje transformacije na Bernoullijevi lemniskati z enačbo

$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2)$.

To nam da

$a^2(u^2-v^2)=1,$

kar pa je enačba hiperbole.

Ker pa je hiperbola racionalna krivulja, iz tega sklepamo, da je tudi lemniskata racionalna krivulja, ki ima rod enak 0.

Zunanje povezave

• Definicije povezanih krivulj Predloga:Ikona en
• Inverzne krivulje Predloga:Ikona en