Bernoullijeva lemniskata

Bernoullijeva lemniskata in njeni dve gorišči.

Bernoullijeva lemniskata je nožiščna krivulja pravokotne hiperbole

Bernoullijeva lemniskata je ravninska krivulja, ki jo definirata dve dani točki $F_1$ in $F_2$, imenovani gorišči. Točki sta na razdalji $2a$, tako da je $P{F}_1\cdot P{F}_2=a^2$.

Imenuje se po švicarskem matematiku Jakobu Bernoulliju I. (1654 – 1705), ki jo je prvi opisal v letu 1694 kot modifikacijo elipse.

Enačbe Bernoullijeve lemniskate

Polarni koordinatni sistem

Enačba Bernoullijeve lemniskate v polarnem koordinatnem sistemu je:

$r^2=2a^2\cos 2\theta .$

Kartezični koordinatni sistem

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Bernoullijeve lemniskate:

$(x^2+y^2{)}^2=2a^2(x^2-y^2).$

Parametrična oblika enačbe

Parametrična oblika enačbe je:

$x=\frac{a\sqrt{2}\cos (t)}{\sin (t{)}^2+1};y=\frac{a\sqrt{2}\cos (t)\sin (t)}{\sin (t{)}^2+1}.$

Bipolarna oblika enačbe

Bipolarna oblika enačbe za Bernoullijevo lemniskato je:

$r{r}^{\prime }=a^2.$

Odvodi

Za $y$ kot funkcijo $x$

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\{\begin{array}{cc}\text{neomejeno}& \text{kadar je }y=0\text{ in }x\ne 0\\ \pm 1& \text{kadar je }y=0\text{ in }x=0\\ \frac{x(a^2-x^2-y^2)}{y(a^2+x^2+y^2)}& \text{kadar je }y\ne 0\end{array}$

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\{\begin{array}{cc}\text{neomejeno}& \text{kadar je }y=0\text{ and }x\ne 0\\ 0& \text{kadar je }y=0\text{ in }x=0\\ \frac{3a^6(y^2-x^2)}{y^3(a^2+2x^2+2y^2{)}^3}& \text{kadar je }y\ne 0\end{array}$

Za $x$ kot funkcijo $y$

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\{\begin{array}{cc}\text{neomejeno}& \text{kadar je }2x^2+2y^2=a^2\\ \pm 1& \text{kadar je }x=0\text{ in }y=0\\ \frac{y(a^2+2x^2+2y^2)}{x(a^2-2x^2-2y^2)}& \text{v ostalih primerih }\end{array}$

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{y}^2}=\{\begin{array}{cc}\text{neomejeno}& \text{kadar je }2x^2+2y^2=a^2\\ 0& \text{kadar je }x=0\text{ in }y=0\\ \frac{3a^6(x^2-y^2)}{x^3(a^2-2x^2-2y^2{)}^3}& \text{v ostalih primerih}\end{array}$

Ukrivljenost

Ko sta znana prva dva odvoda, ni težko določiti ukrivljenost Bernoullijeve lemniskate:

$\kappa =\pm 3(x^2+y^2{)}^{1/2}{a}^{-2},$

kjer je [[predznak]g izbran glede na smer gibanja vzdolž krivulje. Značilnost lemniskate je, da je velikost ukrivljenosti v vsaki njeni točki sorazmerna z razdaljo te točke od izhodišča.

Glej tudi

• Boothova lemniskata
• Geronova lemniskata
• lemniskatna eliptična funkcija
• Gaussova konstanta
• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Bernoullijeva lemniskata na The MacTutor History of Mathematics Predloga:Ikona en
• Bernoullijeva lemniskata v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables Predloga:Ikona fr
• Bernoullijeva lemniskata v National Curve Bank Predloga:Ikona en