Gudermannova funkcija

Gudermannova funkcija z asimptotama (v modri barvi) y = ±π/2 .

Gudermannova funkcija (oznaka $\mathrm{g}dx$) povezuje trigonometrične in hiperbolične funkcije brez uporabe kompleksnih števil.

Imenuje se po nemškem matematiku Chrisophu Gudermannu (1798 – 1852).

Določena je z

$\begin{array}{cc}\mathrm{g}\mathrm{d}x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cosh t}\\ & =\arcsin (\tanh x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(\sinh x)\\ & =2\arctan [\tanh \left(\frac{1}{2}x\right)]=2\arctan (e^x)-\frac{1}{2}\pi .\end{array}$

Za Gudermannovo funkcijo veljajo naslednje zveze

$\begin{array}{cc}\dot{\sin \mathrm{g}\mathrm{d}x}& =\tanh x;\csc \mathrm{g}\mathrm{d}x=\coth x;\\ \cos \mathrm{g}\mathrm{d}x& =\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x;\sec \mathrm{g}\mathrm{d}x=\cosh x;\\ \tan \mathrm{g}\mathrm{d}x& =\sinh x;\cot \mathrm{g}\mathrm{d}x=\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}x;\\ {}_{.}\tan \frac{1}{2}\mathrm{g}\mathrm{d}x& =\tanh \frac{1}{2}x.\end{array}$.

Inverzna Gudermannova funkcija.

Inverzna funkcija Gudermannove funkcije je določena na intervalu $-\pi /2<x<\pi /2$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{gd}}^{-1}x& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{\cos t}\\ & =\ln \left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|\\ & =\ln |\tan x+\sec x|=\ln |\tan (\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}x)|\\ & =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\sin x)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(\tan x).\end{array}$.

Odvod Gudermannove funkcije je

$\frac{d}{dx}\mathrm{g}\mathrm{d}x=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}x;\frac{d}{dx}{\mathrm{gd}}^{-1}x=\sec x$.

Glej tudi

• hiperbolična sekantna porazdelitev
• Mercatorjeva projekcija
• traktrisa

Zunanje povezave

• Gudermannova funkcija na MathWorld Predloga:Ikona en
• Gudermannova funkcija Predloga:Webarchive na PlanetMath Predloga:Ikona en
• Inverzna Gudermannova funkcija Predloga:Webarchive na PlanetMath Predloga:Ikona en