Gudermannova funkcija

Gudermannova funkcija (oznaka $g d x$ ) povezuje trigonometrične in hiperbolične funkcije brez uporabe kompleksnih števil.

Imenuje se po nemškem matematiku Chrisophu Gudermannu (1798 – 1852).

Določena je z

\begin{matrix} g d x & = \int_{0}^{x} \frac{d t}{\cosh t} \\ = \arcsin (\tanh x) = a r c t a n (\sinh x) \\ = 2 \arctan [\tanh (\frac{1}{2} x)] = 2 \arctan (e^{x}) - \frac{1}{2} π . \end{matrix}

Za Gudermannovo funkcijo veljajo naslednje zveze

\begin{matrix} \dot{\sin g d x} & = \tanh x; \csc g d x = \coth x; \\ \cos g d x & = s e c h x; \sec g d x = \cosh x; \\ \tan g d x & = \sinh x; \cot g d x = c s c h x; \\ _{.} \tan \frac{1}{2} g d x & = \tanh \frac{1}{2} x . \end{matrix}

.

Inverzna funkcija Gudermannove funkcije je določena na intervalu $- π / 2 < x < π / 2$

\begin{matrix} {gd}^{- 1} x & = \int_{0}^{x} \frac{d t}{\cos t} \\ = \ln | \frac{1 + \sin x}{\cos x} | = \frac{1}{2} \ln | \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} | \\ = \ln | \tan x + \sec x | = \ln | \tan (\frac{1}{4} π + \frac{1}{2} x) | \\ = a r t a n h (\sin x) = a r s i n h (\tan x) . \end{matrix}

.

Odvod Gudermannove funkcije je

\frac{d}{d x} g d x = s e c h x; \frac{d}{d x} {gd}^{- 1} x = \sec x

.

Glej tudi