Ribja krivulja

Ribja krivulja ima obliko ribe.

Ribja krivulja je negativna nožiščna krivulja elipse, ki ima nožiščno točko v fokusu posebnega primera elipse z izsrednostjo enako $e^2=\frac{1}{2}$ .

Njena oblika je podobna ribi in zato ima tudi takšno ime.

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba ribje krivulje:

$(2a^4+y{)}^2-2\sqrt{2}ax(2x^2-3y^2)+2a^2(y^2-x^2)=0.$

Če pa bi izhodišče premaknili do vozla, pa bi enačba imela obliko: $(2x^2+y^2{)}^2+2\sqrt{2}ax(2x^2-3y^2)+2a^2(y^2-x^2)=0$ .

Za elipso, ki ima parametrično obliko enačbe:

$x=\arccos (t)-\frac{{\arcsin }^2(t)}{\sqrt{2}},y=\arccos (t)\sin (t)$

ima njena ribja krivulja obliko:

$x=\cos (t),y=\frac{\arcsin (t)}{\sqrt{2}}.$

Ploščina

Ploščina ribje krivulje je dana z:

$\begin{array}{cc}p& =\frac{1}{2}|\int (x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime })\mathrm{d}t|\\ & =\frac{1}{8}{a}^2|\int [3\cos (t)+\cos (3t)+2\sqrt{2}{\sin }^{2}t]\mathrm{d}t|.\end{array}$

Pri tem pa je ploščina samo repa enaka:

${𝐩}_{rep}=(\frac{2}{3}-\frac{\pi }{4\sqrt{2}})a^2$

ploščina celotne glave pa je:

${𝐩}_{glava}=(\frac{2}{3}+\frac{\pi }{4\sqrt{2}})a^2$

Kar da za ploščino celotne ribje krivulje vrednost: $p=\frac{4}{3}{a}^2$ .

Ukrivljenost

Ukrivljenost ribje krivulje je podana z obrazcem:

$K(t)=\frac{2\sqrt{2}+3\cos (t)-\cos (3t)}{2a[{\cos }^{4}t+{\sin }^{2}t+{\sin }^{4}t+\sqrt{2}\sin (t)\sin (2t){]}^{\frac{3}{2}}}$.

Tangentni kot

Tangentni kot ribje krivulje je:

$\phi (t)=\pi -\arg (\sqrt{2}-1-\frac{2}{(1+\sqrt{2})e^{it}-1}),$

kjer je

• $\arg (z)$ kompleksni argument (funkcija, ki deluje nad kompleksnimi števili).

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld