Ploščina

Plôščina (tudi ploščína) je v geometriji mera za velikost geometrijskega lika oziroma dela ravnine. Ploščina je v tesni zvezi s površino, ki je vsota ploščin vseh mejnih ploskev telesa. Izraz ploščina praviloma uporabljamo za dvorazsežne objekte (like - dele ravnine), površina pa za trirazsežne objekte (telesa - dele prostora).

V slovenski matematiki je bila dolgo edina oznaka za ploščino mala črka p (začetna črka besede ploščina), v novejšem času pa se uveljavlja tudi velika črka S (začetna črka latinske besede superficium). V tujih jezikih pogosto srečamo tudi oznako A (začetna črka latinske besede area).

Definicija ploščine

Pravokotnik s stranicama 5 in 4 lahko pokrijemo z 20 enotskimi kvadratki

Enota za merjenje ploščine je enotski kvadratek - to je kvadrat, ki ima za stranico 1 dolžinsko enoto. Ploščina lika je število, ki nam pove, koliko enotskih kvadratkov popolnoma prekrije dani lik. Zgled: Pravokotnik s stranicama 5 (dolžinskih enot) in 4 (dolžinske enote) lahko pokrijemo s 5 · 4 = 20 enotskimi kvadratki, torej je njegova ploščina enaka 20 (ploščinskih enot). Na tem principu temelji formula za ploščino pravokotnika s stranicama a in b: ploščina p = ab.

Pri drugih likih se pokrivanje z enotskimi kvadratki ne izide vedno. Postopek nadaljujemo z manjšimi kvadratki, npr s takimi, ki predstavljajo stotinko, desettisočinko, milijoninko osnovne enote in tako napej do infinitezimalno majhnih enot.

Ploščine osnovnih likov

Za računanje ploščin osnovnih likov uporabljamo naslednje formule:

Trikotniki

• ploščina trikotnika z dano stranico in višino:

$p=\frac{a{v}_a}{2}=\frac{b{v}_b}{2}=\frac{c{v}_c}{2}$

• ploščina trikotnika z danima dvema stranicama in kotom med njima:

$p=\frac{ab\sin \gamma }{2}=\frac{bc\sin \alpha }{2}=\frac{ac\sin \beta }{2}$

• ploščina trikotnika z danimi stranicami (Heronova formula):

$p=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, pri čemer je $s=\frac{a+b+c}{2}$

• ploščina enakostraničnega trikotnika:

$p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Štirikotniki

• ploščina pravokotnika s stranicama a in b:

$p=ab$

• ploščina kvadrata s stranico a:

$p=a^2$

• ploščina paralelograma z dano stranico in ustrezno višino:

$p=a{v}_a=b{v}_b$

• ploščina paralelograma z danima dvema stranicama in enim kotom:

$p=ab\sin \alpha =ab\sin \beta$

• ploščina trapeza z danima osnovnicama in višino:

$p=\frac{a+c}{2}v$

• ploščina štirikotnika s pravokotnima diagonalama e in f (npr.: deltoida, romba):

$p=\frac{ef}{2}$

Pravilni mnogokotniki

• ploščina pravilnega trikotnika (enakostraničnega trikotnika):

$p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

• ploščina pravilnega štirikotnika (kvadrata):

$p=a^2$

• ploščina pravilnega šestkotnika:

$p=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

• ploščina pravilnega osemkotnika:

$p=2(1+\sqrt{2})a^2$

Drugi liki

• ploščina kroga s polmerom r:

$p=\pi r^2$

• ploščina elipse s polosema a in b:

$p=\pi ab$

Ploščine krivočrtnih likov

Ploščino krivočrtnih likov, ko so omejeni s krivuljami lahko izračunamo z integralom.

• ploščina lika pod grafom funkcije $y=f(x)$ na intervalu $[a,b]$:

$p=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

• ploščina krivočrtnega trikotnika omejenega s parametrično podano krivuljo $x=x(t),y=y(t)$ med vrednostmi parametra $t=t_0$ in $t=t_1$(vrednost $o$ je enaka $1$ ali $-1$ in je odvisna od orientacije krivulje):

$o\cdot p=\frac{1}{2}\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}xdy-ydx=\frac{1}{2}\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(x(t)\dot{y}(t)-\dot{x}(t)y(t))dt$

• ploščina krivočrtnega trikotnika omejenega s krivuljo podano v polarnih koordinatah $r=r(\phi )$:

$p=\underset{{\phi }_0}{\overset{{\phi }_1}{\int }}{r}^2(\phi )d\phi$

• ploščine zanke, ki jo omejuje pozitivno orientirana parametrično podana krivulja (integalske meje sta parametra samopresečišča):

$p=\frac{1}{2}\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}xdy-ydx=\frac{1}{2}\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}(x(t)\dot{y}(t)-\dot{x}(t)y(t))dt$

Mere za ploščino

Mednarodni sistem enot (SI) predpisuje za merjenje površine izpeljano enoto kvadratni meter. Poleg tega pogosto uporabljamo tudi kvadratni centimeter, kvadratni milimeter, kvadratni kilometer, ipd.

Glej tudi

• površina
• obseg