Eksponentni integral

Grafa funkcij E₁ (zgoraj) in Ei (spodaj)

Eksponéntni integrál (tudi integrálna eksponéntna fúnkcija,Predloga:Rp označba Ei) je v matematiki specialna nelementarna funkcija v kompleksni ravnini. Definirana je kot poseben določeni integral razmerja med eksponentno funkcijo in njegovim argumentom.

Definicije

Za realne neničelne vrednosti x je eksponentni integral Ei(x) definiran kot:

$\mathrm{Ei}(x)=-\underset{-x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t.$

Rischev algoritem pokaže, da funkcija Ei ni elementarna. Zgornja definicija se lahko uporabi za pozitivne vrednosti x, vendar je treba integral razumeti v smislu Cauchyjeve glavne vrednosti zaradi singularnosti integranda v točki 0.

Za kompleksne vrednosti argumenta je ta definicija dvoumna zaradi vejišč v 0 in $\mathrm{\infty }$. Zaradi tega se namesto Ei uporablja naslednji zapis:

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t,(|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi ).$

V splošnem je prerez vejišča vzet na negativni realni osi in se lahko funkcija E₁ definira z analitičnim nadaljevanjem vseepovsod drugod v kompleksni ravnini.

Za pozitivne vrednosti realnega dela $z$ se lahko to zapiše kot:

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-tz}}{t}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{e^{-z/u}}{u}\mathrm{d}u,(\mathrm{\Re }(z)\ge 0).$

Obnašanje funkcije E₁ blizu prereza vejišča se lahko vidi z naslednjim izrazom:

$\underset{\delta \to 0+}{\lim }{\mathrm{E}}_{\mathrm{1}}(-x\pm i\delta )=-\mathrm{E}\mathrm{i}(x)\mp i\pi ,(x>0).$

Značilnosti

Več spodnjih značilnosti eksponentnega integrala v določenih primerih omogoča izogib eksplicitni določitvi vrednosti prek zgornje definicije.

Konvergentne vrste

Če se integrira Taylorjeva vrsta za $e^{-t}/t$ in izloči logoritemska singularnost, se lahko izpelje naslednji razvoj v vrsto za funkcijo ${\mathrm{E}}_1(x)$ za realne $x$:

$\mathrm{Ei}(x)=\gamma +\ln |x|+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{kk!},(x\ne 0).$

Za kompleksne argumente stran od negativne realne osi se to posploši v:

${\mathrm{E}}_1(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}^k}{kk!},(|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi ),$

kjer je $\gamma$ Euler-Mascheronijeva konstanta. Vsota konvergira za vse kompleksne $z$, tako da se za običajno vrenost kompleksnega logaritma vzame prerez vejišča vzdolž negativne realne osi.

S to formulo se lahko izračuna ${\mathrm{E}}_1(x)$ z operacijami s plavajočo vejico za realne $x$ med 0 in 2,5. Za $x>2,5$ je rezultat netočen zaradi izgube pomembnosti.

Hitreje konvergirajočo vrsto je našel Ramanudžan:

$\mathrm{Ei}(x)=\gamma +\ln x+e^{x/2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}.$

Asimptotične (divergentne) vrste

Relativna napaka asimptotičnega približka za različno število členov $N$ v prisekani vsoti

Konvergenca zgornje vrste je počasna za argumente z večjim modulom. Za $x=10$ je na primer potrebno več kot 40 členov za vrednost točno na tri decimalna mesta. Obstaja pa približek z divergentno vrsto, ki se lahko dobi z integracijo $z{e}^z{\mathrm{E}}_1(z)$ po delih:

${\mathrm{E}}_1(z)=\frac{e^{-z}}{z}\sum _{n=0}^{N-1}\frac{n!}{(-z{)}^n},$

z napako reda $O(N!z^{-N})$ in velja za velike vrednosti $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$. Relativna napaka zgornjega približka je prikazana na desni sliki za različne vrednosti členov $N$ v prisekani vsoti ($N=1$ rdeče, $N=5$ rožnato).

Eksponentno in logaritemsko obnašanje: izenačevanje

Izenačevanje funkcije ${\mathrm{E}}_1$ z dvema elementarnima funkcijama

Iz dveh vrst predlaganih v predhodnih razdelkih sledi, da se funkcija ${\mathrm{E}}_1$ obnaša kot negativna eksponentna funkcija za velike vrednosti argumenta in kot logaritem za majhne vrednosti. Za pozitivne realne vrednosti argumenta se lahko funkcija ${\mathrm{E}}_1$ izenači z elementarnimi funkcijami kot sledi:

$\frac{1}{2}{e}^{-x}\ln (1+\frac{2}{x})<{\mathrm{E}}_1(x)<e^{-x}\ln (1+\frac{1}{x}),(x>0).$

Leva stran te neenakosti je prikazana na levem grafu modro; osrednji del ${\mathrm{E}}_1(x)$ črno, desna stran pa rdeče.

Definicija s funkcijo Ein

Obe funkciji $\mathrm{Ei}$ in ${\mathrm{E}}_1$ se lahko zapišeta preprostejši obliki s pomočjo cele funkcije $\mathrm{Ein}$, definirane kot:

$\mathrm{Ein}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}(1-e^{-t})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{z}^k}{kk!}.$

(to je le alternirajoča vrsta v zgornji definiciji funkcije ${\mathrm{E}}_1$). Potem velja:

${\mathrm{E}}_1(z)=-\gamma -\ln z+\mathrm{Ein}(z),(|\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)|<\pi ).$

$\mathrm{Ei}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{Ein}(-x),(x>0).$

Povezava z drugimi funkcijami

EKsponentni integral je v tesni povezavi z logaritemskim integralom li(x) s formulo:

$\mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x),$

za pozitivne realne vrednosti $x$.

Eksponentni integral se lahko posploši na:

${\mathrm{E}}_n(x)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-xt}}{t^n}\mathrm{d}t,$

kar se lahko zapiše kot poseben primer nepopolne funkcije gama:

${\mathrm{E}}_n(x)=x^{n-1}\mathrm{\Gamma }(1-n,x).$

Posplošena oblika se včasih imenuje Misrova funkcija, ${\phi }_m(x)$, definirana kot:

${\phi }_m(x)={\mathrm{E}}_{-m}(x).$

Z upoštevanjem logaritma se definira posplošena integralsko-eksponentna funkcija:

${\mathrm{E}}_s^j(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+1)}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\log t{)}^j\frac{e^{-zt}}{t^s}\mathrm{d}t.$

Nedoločeni integral:

$\mathrm{Ei}(a\cdot b)=\iint e^{ab}\mathrm{d}a\mathrm{d}b$

je po obliki podoben navadni rodovni funkciji za $d(n)$, številu deliteljev $n$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}d(n)x^n=\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{ab}.$

Odvajanje

Odvode posplošenih funkcij ${\mathrm{E}}_n$ se lahko izračuna s formulo:

${\mathrm{E}}_{n^{\prime }}(z)=-{\mathrm{E}}_{n-1}(z),(n=1,2,3,\dots ).$

Funkcija ${\mathrm{E}}_0$ se preprosto izračuna, zaradi česar je ta rekurzija uporabna, ker velja $e^{-z}/z$.

Eksponentni integral imaginarnega argumenta

Graf funkcije ${\mathrm{E}}_1(ix)$ v odvisnosti od $x$; realni del črno, imaginarni del rdeče.

Če je $z$ imaginaren, ima nenegativni realni del, tako da se lahko uporabi formula:

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-tz}}{t}dt$

za povezavo s trigonometričnima integraloma $\mathrm{Si}$ in $\mathrm{Ci}$:

${\mathrm{E}}_1(ix)=i(-\frac{1}{2}\pi +\mathrm{Si}(x))-\mathrm{Ci}(x),(x>0).$

Realna in imaginarna dela funkcije ${\mathrm{E}}_1(x)$ sta prikazana na desni sliki s črno in rdečo krivuljo.

Računanje in približki

Za funkcijo eksponentnega integrala obstaja več približkov. Med njimi so:

• približek Swameeja in Ohije:

${𝖤}_1[x]=(A^{-7.7}+B{)}^{-0.13},$

kjer je $A=\ln \left[\right(\frac{0,56146}{x}+0,65)(1+x)]$ in $B=x^4{e}^{7,7x}(2+x{)}^{3,7}$,

• približek Allena in Hastingsa:

${𝖤}_1[x]=\{\begin{array}{cc}\ln x+{\mathbf{\text{a}}}^T{\mathbf{\text{x}}}_5,& x\le 1\\ \frac{e^{-x}}{x}\frac{{\mathbf{\text{b}}}^T{\mathbf{\text{x}}}_4}{{\mathbf{\text{c}}}^T{\mathbf{\text{x}}}_4},& x\ge 1\end{array}$

kjer je $\mathbf{\text{a}}\triangleq [-0,57722,0,99999,-0,24991,0,5519,-0,00976,0,00108{]}^T$, $\mathbf{\text{b}}\triangleq [0,26777,8,63476,18,05902,8,57333{]}^T$, $\mathbf{\text{c}}\triangleq [3,95850,21,09965,25,63296,9,57332{]}^T$ in ${\mathbf{\text{x}}}_k\triangleq [x^0,x^1,\dots ,x^k{]}^T$,

• razvoj z verižnim ulomkom:

${𝖤}_1[x]=\frac{e^{-x}}{x+\frac{1}{1+\frac{1}{x+\frac{2}{1+\frac{2}{x+\frac{3}{\dots }}}}}},$

• približek Barryja s sodelavcema:

${𝖤}_1[x]=\frac{e^{-x}}{G+(1-G)e^{-x/(1-G)}}\ln [1+\frac{G}{x}-\frac{1-G}{(h+bx{)}^2}],$

kjer je $h=\frac{1}{1+x\sqrt{x}}+\frac{h_{\mathrm{\infty }}q}{1+q}$, $q=\frac{20}{47}{x}^{\sqrt{31/26}}$, $h_{\mathrm{\infty }}=\frac{(1-G)(G^2-6G+12)}{3G(2-G{)}^{2}b}$, $b=\sqrt{\frac{2(1-G)}{G(2-G)}}$, $G=e^{-\gamma }$, in tu $\gamma$ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Posebne vrednosti

$\mathrm{Ei}(0)=-\mathrm{\infty },$

$\mathrm{Ei}(1/5)=-0,821760587902400315653310869899\dots ,$

$\mathrm{Ei}(1/4)=-0,542543264661913729533531851734\dots ,$

$\mathrm{Ei}(1/3)=-0,158092108971155710313577306230\dots ,$

$\mathrm{Ei}(1/2)=0,454219904863173579920523812662\dots ,$

$\mathrm{Ei}(1)=1,895117816355936755466520934331\dots ,$ Predloga:OEIS,

$\mathrm{Ei}(2)=4,954234356001890163379505130227\dots ,$

Ničla ($\mathrm{Ei}(x)=0$) ima vrednost:

$x=0,372507410781366634461991866580\dots ,$ Predloga:OEIS.

Uporaba

• časovno odvisni prenos toplote
• neravnovesni tok podtalnice v prehodni Theisovi rešitvi (funkcija vodnjaka)
• prenos sevanja v zvezdnih atmosferah
• radialna difuzijska enačba za tok prehodnega ali spremenljivega stanja s črtastimi viri in ponori
• rešitve nevtronske transportne enačbe v poenostavljenih enorazsežnih geometrijah.

Glej tudi

• Goodwin-Statonov integral

Viri

• Predloga:Citat, Poglavje 5
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:Citat, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 Predloga:Ikona en
• NIST documentation on the Generalized Exponential Integral Predloga:Ikona en
• Predloga:MathWorld
• Predloga:MathWorld
• Exponential integral Ei na strani Wolfram Functions Predloga:Ikona en
• Eksponentni, logaritemski, sinusni in kosinusni integral v DLMF Predloga:Ikona en