Difuzijska enačba

Difuzíjska enáčba ali drúgi Fickov zákon [~ fíkov ~] je parcialna diferencialna enačba, ki povezuje prvi odvod količine po času z drugim odvodom te količine po kraju. V primeru difuzije je ta količina koncentracija c:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{{\partial }^{2}c}{\partial x^2}.$

Sorazmernostni faktor je difuzijska konstanta D. V treh razsežnostih se drugi odvod po kraju nadomesti z Laplaceovim operatorjem:

$\frac{\partial c}{\partial t}=D{\mathrm{\nabla }}^{2}c.$

Enačbo enake oblike je moč izpeljati tudi za prevajanje toplote – toplotna enačba (tam velja $D=\lambda /\rho c_p$, kjer je λ toplotna prevodnost, ρ gostota in c_p specifična toplota pri stalnem tlaku) in druge transportne pojave.

Za začetno točkovno porazdelitev, določeno s funkcijo δ, je fundamentalna rešitev difuzijske enačbe podana z Greenovo funkcijo za neomejeno območje, ki je Gaussova porazdelitev:

$c(x,t)=\frac{m}{\rho S\sqrt{4\pi Dt}}\exp (-\frac{x^2}{4Dt}).$

Pri poljubni začetni porazdelitvi c(x,t=0) se izrazi rešitev z integralom:

$c(x,t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}c(x^{\prime },0)\frac{m}{\rho S\sqrt{4\pi Dt}}\exp (-\frac{(x-x^{\prime }{)}^2}{4Dt})\mathrm{d}{x}^{\prime }.$

Difuzijsko enačbo se izpelje iz difuzijskega zakona, če se upošteva še kontinuitetno enačbo:

$\frac{\partial c}{\partial t}=-\mathrm{\nabla }𝐣.$

Difuzijska enačba je zgled parabolične parcialne diferencialne enačbe.

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat