Logaritemski integral

Graf fukcije logaritemskega integrala $\mathrm{li}x;0<x\le 5$

Logaritemski integral (tudi integralski logaritem ali integralni logaritem,Predloga:Rp označba li) je v matematiki specialna neelementarna funkcija, določena za vsa pozitivna realna števila $x\ne 1$ z določenim integralom:

$\mathrm{li}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}.$

Tukaj ln označuje naravni logaritem. Funkcija $1/\ln t$ ima singularno točko v t = 1, tako, da je treba integral za x > 1 predočiti s Cauchyjevo glavno vrednostjo:

$\mathrm{li}(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }(\underset{0}{\overset{1-\epsilon }{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}+\underset{1+\epsilon }{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}).$

Obnašanje funkcije pri x → ∞ je dano z:

$\mathrm{li}(x)=\mathrm{\Theta }\left(\frac{x}{\ln x}\right).$

(glej zapis z velikim O).

Logaritemski integral je v glavnem pomemben, ker se pojavlja pri ocenitvi gostote praštevil, še posebej v praštevilskem izreku:

$\pi (x)\sim \mathrm{Li}(x),$

kjer π(x) označuje multiplikativno aritmetično funkcijo - število praštevil manjših ali enakih x, Li(x) pa je funkcija ordinatnega logaritemskega integrala, povezana z li(x) kot Li(x) = li(x) - li(2).

Ordinatni logaritemski integral da še malo boljšo oceno za funkcijo π kot li(x). Funkcija li(x) je povezana z eksponentnim integralom Ei(x) preko enačbe:

$\mathrm{li}(x)=\mathrm{Ei}(\ln x)\text{za vse pozitivne realne}x\ne 1.$

To vodi do razvojev v vrsto li(x). Na primer:

$\mathrm{l}\mathrm{i}(e^u)=\gamma +\ln \left|u\right|+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^n}{n\cdot n!}\mathrm{z}\mathrm{a}u\ne 0,$

kjer je γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... Euler-Mascheronijeva konstanta. Funkcija li(x) ima eno pozitivno ničlo pri x ≈ 1,45136 92348 .... To število je znano kot Ramanudžan-Soldnerjeva konstanta.

Glej tudi

• Jørgen Pedersen Gram
• Skewesovo število

Viri

• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld