Eulerjeva vsota

Eulerjeva vsota (tudi Eulerjeva sumacijska metoda) je v matematiki konvergentnih in divergentnih vrst sumacijska metoda. Je metoda za dodelitev vrednosti vrstam, ki se razlikuje od konvencionalne metode računanja limit delnih vsot. Če je dana vrsta:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,$

in, če njena Eulerjeva transformacija konvergira k vsoti, se ta vsota imenuje Eulerjeva vsota izvirne vrste. Eulerjeva vsota se lahko poleg določanja vrednosti za divergentne vrste rabi za pospeševanje konvergence vrst.

Eulerjeva vsota se lahko posploši v družino metod označenih kot (E, q), kjer je q ≥ 0. Vsota (E, 1) je običajna Eulerjeva vsota. Vse te metode so strogo šibkejše od Borelove vsote; za q > 0 so neprimerljive z Abelovo vsoto.

Definicija

Za poljubno vrednost y se lahko definira Eulerjeva vsota (če za to vrednost y konvergira), ki odgovarja posebni formalni vsoti kot:

${}_{E_y}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j:=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{a}_j.$

Če formalna vsota dejansko konvergira, bo Eulerjeva vsota enaka. Eulerjeva vsota se še posebej rabi za pospeševanje konvergence alternirajočih vsrt in včasih lahko da uporabno smiselno vrednost divergentnih vsot.

V opravičilo temu pristopu je treba poudariti, da se za medsebojno zamenjano vsoto Eulerjeva vsota skrči na začetno vrsto, ker velja:

$y^{j+1}\sum _{i=j}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}=1.$

Metoda sama se iterativno ne more izboljšati, saj velja:

${}_{E_{y_1}}{}_{E_{y_2}}\sum ={}_{E_{\frac{y_1{y}_2}{1+y_1+y_2}}}\sum .$

Zgodovina

Euler je vpeljal transformacijo vrst leta 1755 v svojem delu Osnove diferencialnega računa (Institutiones calculi differentialis). Dano vrsto $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ je zapisal kot alternirajočo vrsto $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1)a_n$. Z nekaj formalnimi algebrskimi koraki je pokazal, da velja transformacija:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+1}},$

kjer je:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}^0{a}_0& =a_0\\ {\mathrm{\Delta }}^1{a}_0& =a_1-a_0\\ {\mathrm{\Delta }}^n{a}_0& ={\mathrm{\Delta }}^{n-1}{a}_1-{\mathrm{\Delta }}^{n-1}{a}_0=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i(n\ge 2).\end{array}$

Tako je naprej:

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}^2{a}_0& =a_2-2a_1+a_0\\ {\mathrm{\Delta }}^3{a}_0& =a_3-3a_2+3a_1-a_0\\ {\mathrm{\Delta }}^4{a}_0& =a_4-4a_3+6a_2-4a_1+a_0\\ \dots .\end{array}$

Členi na desni transformacije običajno postnejo veliko manjši in to hitreje, kar omogoča hitro numerično seštevanje. Naj je $a_n=(-1{)}^n{b}_n$. Če se uvedeta spremenljivki x in y, ki sta povezani kot:

$x=\frac{y}{1-y}=y+y^2+y^3+\dots ,$

velja:

$\begin{array}{cc}{b}_{0}x+b_1{x}^2+b_1{x}^3+\dots & =a_{0}x-a_1{x}^2+a_2{x}^3-a_3{x}^4+\dots \\ & =a_0(y+y^2+y^3+\dots )-a_1(y^2+2y^3+3y^4+4y^5+\dots )\\ & +a_2(y^3+3y^4+6y^5+10y^6+\dots )-a_3(y^4+4y^5+10y^6+20y^7+\dots )+\dots \\ & =a_{0}y-(a_1-a_0)y^2+(a_2-2a_1+a_0)y^3-\dots .\end{array}$

Če se izbereta $x=1$ in $y=1/2$, sledi:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=a_0-a_1+a_2-a_3+\dots =\frac{a_0}{2}-\frac{{\mathrm{\Delta }}^1{a}_0}{4}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^2{a}_0}{8}-\frac{{\mathrm{\Delta }}^3{a}_0}{16}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^4{a}_0}{32}-\dots ,$

kot je zahtevano.

Zgledi

• če se za formalno vsoto $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^j{P}_k(j)$ vzame y = 1, se dobi $\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j{P}_k(j),$ če je $P_k$ polinom stopnje k. Pri tem bo notranja vsota enaka nič za Predloga:Math, tako da bo v tem primeru Eulerjeva vsota skrčila neskončno vrsto v končno.

• na primer Grandijeva vrsta:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n=1-1+1-1+1-\dots .$

Tu je $a_n=1$ in posebej $a_0=1$, ter ${\mathrm{\Delta }}^n{a}_0=0$ za vse $n>0$, tako da Eulerjeva transformacija da »pričakovani« rezultat 1/2:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n=\frac{1}{2}.$

• ali vrsta:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{2}^n=1-2+4-8+16-\dots ,$

Zaporedja razlik so $1,2,4,8,16,...$, $-1,-2,-4,-8,...$, $1,2,4,8,...$, $-1,-2,-4,-8,...$. Eulerjeva transformacija da vrsto $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+...=\frac{1}{3}$.

• za vrsto 1 − 2 + 3 − 4 + ···:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(n+1)=1-2+3-4+5\dots ,$

je $a_0=1$, ${\mathrm{\Delta }}^1{a}_0=1$ in ${\mathrm{\Delta }}^n{a}_0=0$ za vse $n>1$, tako da je Eulerjeva vsota enaka $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

• Euler je v Institutiones podal več zgledov. Na primer alternirajočo vrsto za trikotniška števila:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(n+1)(n+2)}{2}=1-3+6-10+15-\dots =\frac{1}{8},$

• za kvadratna števila:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(n+1{)}^2=1-4+9-16+25-\dots =0,$

• ali za četrte potence (bikvadratna ali teseraktna števila):

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(n+1{)}^4=1-16+81-256+625-\dots =0.$

• posebna izbira $P_k(j):=(j+1{)}^k$ zagotavlja eksplicitno reprezentacijo Bernoullijevih števil, ker je $\frac{B_{k+1}}{k+1}=-\zeta (-k)$ (Riemmanova funkcija ζ). Formalna vrsta v tem primeru dejansko divergira, ker je k pozitiven. Če se uporabi Eulerjeva vsota na funkcijo ζ (ali na sorodno Dirichletovo funkcijo η), bo veljalo $\frac{1}{1-2^{k+1}}\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j(j+1{)}^k$, kar je analitična rešitev.

• $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^j=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{z}^j=\frac{y}{1+y}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1+yz}{1+y}\right)}^i$. Z ustrezno izbiro y (da je enak ali blizu $-1/z$) ta vrsta konvergira k $\frac{1}{1-z}$.

Značilnosti

Eulerjeva vsota je linearna in regularna in tako spada med generične sumacijske metode.

Glej tudi

• Borelova vsota
• Cesàrova vsota
• Lambertova vsota
• Perronova enačba
• abelovski in tauberski izreki
• Abel-Planova formula
• Abelova sumacijska formula
• van Wijngaardenova transformacija

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat