Število bet

Število bet se uporablja na podoben način kot število alef. Ime izhaja iz druge črke hebrejske abecede (prva črka se imenuje alef in jo zapišemo kot $\mathrm{\aleph }$). S števili bet označujemo kardinalnost števnih končnih množic. Podobno kot za število alef, označujemo tudi števila bet z indeksi, čeprav ne uporabljamo vseh indeksov, ki so v uporabi za $\mathrm{\aleph }$.

Definicija

Najprej definirajmo kardinalnost neskončne števne množice, oziroma množico naravnih števil, ki jo označujemo z $\mathbb{N}$:

${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0.$

Označimo s $P(A)$ potenčno množico (partitivno množico), to je množico vseh podmnožic množice $A$. Potem velja:

${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }}.$

To pa je kardinalnost potenčne množice $A$, če je ${\beth }_{\alpha }$ kardinalnost množice $A$.

Po tej definiciji so:

${\beth }_0,{\beth }_1,{\beth }_2,{\beth }_3,\dots$

kardinalnosti naslednjih množic:

$\mathbb{N},P(\mathbb{N}),P(P(\mathbb{N})),P(P(P(\mathbb{N}))),\dots .$

To pomeni, da je drugo število bet ${\beth }_1$ enako kardinalnosti kontinuuma (oznaka $𝔠$). Tretje število bet ${\beth }_2$ je kardinalnost potenčne množice kontinuuma.

Odnos s števili alef

V skladu z aksiomom izbire so kardinalnosti, ki pripadajo neskončnim množicam, linearno urejene. Dveh kardinalnosti ne moremo primerjati. Ker ni neskončne kardinalnosti med ${\mathrm{\aleph }}_0$ in ${\mathrm{\aleph }}_1$ sledi, da je:

${\beth }_1\ge {\mathrm{\aleph }}_1.$.

To pomeni, da za vsako ordinalno število $\alpha$ velja:

${\beth }_{\alpha }\ge {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }.$

Domneva kontinuuma nam da:

${\beth }_1={\mathrm{\aleph }}_1.$

Posplošena domneva kontinuuma pa trdi, da števila bet tvorijo za vsako ordinalno število enako zaporedje kot števila alef:

${\beth }_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }.$

Nekatera kardinalna števila bet

Bet nič

Naslednjim množicam pripada kardinalnost ${\beth }_0$:

• naravna števila $\mathbb{N}$
• racionalna števila $\mathbb{Q}$
• algebrska števila $\bar{\mathbb{Q}}$
• končna množica celih števil $\mathbb{Z}$

Bet ena

Naslednjim množicam pripada kardinalnost ${\beth }_1$:

• transcendentna števila
• iracionalna števila
• realna števila $ℝ$
• kompleksna števila $ℂ$
• evklidski prostor ${ℝ}^n$
• potenčna množica naravnih števil
• množica zaporedij celih števil ${\mathbb{Z}}^n$
• množica zaporedij realnih števil ${ℝ}^n$
• množica zveznih funkcij iz $ℝ$ v $ℝ$
• množica končnih podmnožic realnih števil

Bet dva

Naslednjim množicam pripada kardinalnost ${\beth }_2$:

• potenčna množica množice realnih števil
• potenčna množica množice potenc iz množice naravnih števil
• množica funkcij iz $ℝ$ v $ℝ$ (${ℝ}^r$)
• množica funkcij iz ${ℝ}^m$ v ${ℝ}^n$
• potenčna množica množice vseh funkcij iz množice naravnih števil v samo sebe
• Stone-Čechova kompaktifikacija za $ℝ$, $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{N}$

Glej tudi

• kardinalnost
• število alef

Zunanje povezave

• Število bet Predloga:Webarchive na WordiQ Predloga:Ikona en