Ahilovo število

Prikaz močnega števila 72 s Cuisenairovimi palicami

Ahilovo število je število, ki je močno, ampak ni popolno. Naravno število Predloga:Matematična formula je močno število, če in samo če je za vsak praštevilski faktor Predloga:Matematična formula števila Predloga:Matematična formula, Predloga:Matematična formula tudi njegov delitelj. Z drugimi besedami, vsak praštevilski faktor se pojavi najmanj kvadriran v faktorizaciji. Vsa Ahilova števila so močna, toda vsa močna števila niso Ahilova števila: samo ta, ki se ne morejo zapisati v obliki Predloga:Matematična formula, kjer sta Predloga:Matematična formula in Predloga:Matematična formula naravni števili, večji od 1.

Ahilova števila je Henry Bottomley poimenoval po Ahilu, junaku Trojanske vojne, ki je bil tudi močen, ampak nepopoln. Močna Ahilova števila so Ahilova števila, katerih Eulerjeva fi funkcija je tudi Ahilovo število.

Število Predloga:Matematična formula je močno, če Predloga:Matematična formula. Če velja tudi Predloga:Matematična formula, potem je število tudi Ahilovo število.

Ahilova števila do 5000 so:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 Predloga:OEIS.

Najmanjši par zaporednih Ahilovih števil je:

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

Primeri

108 je močno število. Njegov praštevilski razcep je 2² · 3³, torej sta njegova dva praštevilska faktorja enaka 2 in 3. Tako 2² = 4 kot tudi 3² = 9 sta delitelja števila 108. Toda 108 se ne more zapisati kot Predloga:Matematična formula, kjer sta Predloga:Matematična formula in Predloga:Matematična formula naravni števili večji od 1, torej je 108 Ahilovo število.

360 ni Ahilovo število, ker ni močno. Eden njegovih praštevilskih faktorjev je 5, toda 360 ni deljivo s 5² = 25.

784 ni Ahilovo število. Je močno število, ker sta njegova praštevilska faktorja le 2 in 7, število pa delita njuna kvadrata 2² = 4 in 7² = 49. To pomeni, da je le popoln kvadrat:

$784=2^4\cdot 7^2=(2^2{)}^2\cdot 7^2=(2^2\cdot 7{)}^2=28^2.$

Torej ni Ahilovo število.

500 = 2² × 5³ je močno Ahilovo število, saj je njegova Eulerjeva fi funkcija 200 = 2³ × 5² tudi Ahilovo število.