Kongruenca

Za kongruenco v geometriji glej: Skladnost

Kongruénca oziroma kongruénčna relácija je ekvivalenčna relacija.

Celi števili $a$ in $b$ sta kongruentni po modulu $m$ ($m$ je naravno število), če in samo če $m$ deli razliko števil $a$ in $b$.

Definicija

Naj bo $m\in \mathbb{N}$ in $a,b\in \mathbb{Z}$. Pravimo, da je $a$ kongruenten $b$ po modulu $m$ ter to zapišemo kot:

$a\equiv bmod(m)$.

Velja $a\equiv bmod(m)$ natanko tedaj, ko velja $m|(a-b)$.

Na primer $55\equiv 61mod(3)$, saj velja $3|55-61$.

Lastnosti kongruenc

Kongruenca je ekvivalenčna relacija, velja namreč:

$a\equiv amod(m)$ – refleksivnost

$a\equiv bmod(m)⟹b\equiv amod(m)$ – simetričnost

$(a\equiv bmod(m))\wedge (b\equiv cmod(m))⟹(a\equiv cmod(m))$ – tranzitivnost

Pravila pri računanju s kongruencami

Iz definicije sledi da lahko kongruentna števila ali člene vedno zamenjujemo med seboj.

Naj za vse primere velja:

$a\equiv bmod(m)\wedge c\equiv dmod(m)$

Seštevanje kongruenc

$a+c\equiv b+dmod(m)$

$a\equiv bmod(m)\wedge c\equiv dmod(m)⟹a-b=km,c-d=lm$

Zgoraj pridobljeni enačbi seštejemo:

$a-b+c-d=km+lm=m(l+k)⟹a-b+c-d\equiv 0mod(m)⟹a+c\equiv b+dmod(m)$

Množenje kongruenc

$a\cdot c\equiv b\cdot dmod(m)$

$ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)=alm+dkm=m(al+dk)⟹$

$ac-bd\equiv 0mod(m)⟹ac\equiv bdmod(m)$

Množenje kongruenc s celim številom

$az\equiv bzmod(m),z\in \mathbb{Z}$

$a-b=km|\cdot z$

$az-bz=kmz⟹az-bz\equiv 0mod(m)⟹az\equiv bzmod(m)$

Potenciranje kongruenc

$a\equiv bmod(m)⟹a^n\equiv b^{n}mod(m),n\in {\mathbb{N}}_0$

Ta izrek je le posebni primer izreka o množenju kongruenc. Torej n-krat pomnožimo kongruenco samo s sabo in izrek je dokazan. Je pa ta izrek kot boste videli v nadaljevanju zelo pomemben.

Uporaba kongruenc

Kongruence so uporabne predvsem v nalogah, kjer nastopajo števila prevelika za računanje z njimi brez računalnika. Tipične naloge, ki se jih navadno lotimo s kongruencami so:

• dokazovanje ali spodbijanje deljivosti
• ugotavljanje zadnje števke
• ugotavljenje ostanka pri deljenju z nekim številom
• uporaba v diofantskih enačbah

Primer naloge

• S katero števko se konča $3^{2005}$?

Ker iščemo zadnjo števko, gledamo število po modulu m=10. Velja seveda:

$3\equiv 3mod(m)$

ali

$3^1\equiv 3mod(m)$

in

$3^2\equiv 9mod(m)$

$3^3\equiv 7mod(m)$

$3^4\equiv 1mod(m)$

Ker je 2005 = 4 * 501 + 1, velja

$3^{4\cdot 501}\equiv 1mod(m)$

ali

$3^{2004}\equiv 1mod(m)$

pomnožimo obe strani s tri in to je rezultat

$3^{2005}\equiv 3mod(m)$.

Zunanje povezave

• http://www2.arnes.si/~mmlaka10/Clanki/clanki.htm