Bézoutova matrika

Bézoutova matrika (tudi bezutian) (oznaka $B_{n}$ za matriko reda $n$ ) je posebna kvadratna matrika, ki je povezana z dvema polinomoma.

Matrika se imenuje po francoskem matematiku Étiennu Bézoutu (1730 – 1783).

Definicija

Naj bosta $f (z)$ in $g (z)$ dva kompleksna polinoma z največ $n$ keoficienti, od katerih so nekateri lahko enaki 0. To lahko zapišemo kot

f (z) = \sum_{i = 0}^{n} u_{i} z^{i}, g (z) = \sum_{i = 0}^{n} v_{i} z^{i} .

.

Bézoutova matrika reda $n$ za polinoma $f$ in $g$ je enaka

B_{n} (f, g) = {(b_{i j})}_{i, j = 1, \dots, n}

kjer se posamezni koeficienti dobijo iz

\frac{f (x) g (y) - f (y) g (x)}{x - y} = \sum_{i, j = 1}^{n} b_{i j} x^{i - 1} y^{j - 1} .

.

Uporablja se prostor $ℂ^{n \times n}$ in če označimo za vsak $i, j = 1, \dots, n$ z $m_{i j} = m i n i, n + 1 - f$ , potem je

b_{i j} = \sum_{k = 1}^{m_{i j}} u_{j + k - 1} v_{i - k} - u_{i - k} v_{j + k - 1} .

B_{3} (f, g) = [\begin{matrix} u_{1} v_{0} - u_{0} v_{1} & u_{2} v_{0} - u_{0} v_{2} & u_{3} v_{0} - u_{0} v_{3} \\ u_{2} v_{0} - u_{0} v_{2} & u_{2} v_{1} - u_{1} v_{2} + u_{3} v_{0} - u_{0} v_{3} & u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3} \\ u_{3} v_{0} - u_{0} v_{3} & u_{3} v_{1} - u_{1} v_{3} & u_{3} v_{2} - u_{2} v_{3} \end{matrix}]

B_{4} (f, g) = [\begin{matrix} - 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

.

$B_{n} (f, g)$ je simetrična matrika
$B_{n} (f, g) = - B_{n} (g, f)$
$B_{n} (f, f) = 0$
$B_{n} (f, g)$ je bilinearna v (f,g);
$B_{n} (f, g)$ je v $ℝ^{n \times n}$ če imata $f$ in $g$ realne koeficiente
$B_{n} (f, g)$ je nesingularna z $n = m a x (d e g (f), d e g (g))$ če in samo, če $f$ in $g$ nimata skupnih rešitev
$B_{n} (f, g)$ z $n = m a x (d e g (f), d e g (g))$ ima determinanto, ki je rezultanta polinomov $f$ in $g$ .

Bézoutova matrika se uporablja v teoriji upravljanja (teorija kontroliranja).
Uporabljajo se tudi za testiranje stabilnosti polinomoma.