Barometrska enačba

Zračni tlak in gostota zraka v odvisnosti od višine v ozračju (na grafu do 600 km)

Zračni tlak kot funkcija višine nad morsko gladino (do 20 km)

Barométrska enáčba opisuje pojemanje tlaka $p$ z višino $z$ v izotermnem ozračju:

$p(z)=p_0{e}^{-z/z_0}.$

V realnem ozračju se temperatura z višino spreminja, zato velja ta zveza le približno.

Hidrostatična izpeljava

Izhaja se iz enačbe za hidrostatični tlak:

$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g.$

Iz splošne plinske enačbe se lahko izrazi gostoto zraka $\rho$:

$\rho =\frac{Mp}{RT}.$

Ko se to vstavi v prejšnjo enačbo in preuredi, se dobi:

$\frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{Mg}{RT}\mathrm{d}z=-\frac{\mathrm{d}z}{z_0}.$

Vpeljala se je oznaka $z_0=RT/Mg$. Enačbo na levi strani se najprej integrira od $p_0$ do $p$, na desni pa od $z_0$ do $z$, zatem pa se jo še antilogaritmira, tako da se dobi:

$p=p_0{e}^{-z/z_0}.$

Statističnomehanska izpeljava

Izhaja se iz dejstva, da mora biti v ravnovesju kemijski potencial za vsako plast ozračja enak. V nasprotnem primeru bi neenakost kemijskih potencialov privedla do prenosa snovi med plastmi in porazdelitev snovi v ozračju ne bi bila ravnovesna.

Razliko kemijskih potencialov med izbrano referenčno ravnino ($z=0$) in poljubno drugo ravnino pri izbrani temperaturi $T$ se zapiše kot:

$\mu -{\mu }_0=\bar{H}-{\bar{H}}_0+RT\ln \frac{p}{p_0}.$

Pri tem je $\mu$ kemijski potencial, ${\mu }_0$ njegova vrednost pri $z=0$, $\bar{H}$ entalpija na mol in ${\bar{H}}_0$ njena vrednost pri $z=0$, $p$ tlak in $p_0$ njegova vrednost pri $z=0$, $R$ pa splošna plinska konstanta. Zadnji člen izvira iz izraza za spremembo entropije pri izotermni spremembi.

Brez izgube splošnosti se lahko postavi ${\bar{H}}_0=0$. Na višini $z$ je entalpija večja od referenčne za težnostno potencialno energijo:

$\bar{H}=Mgz.$

Pri tem je $M$ molska masa plina, $g$ pa težni pospešek. Odtod se dobi zvezo:

$Mgz=-RT\ln \frac{p}{p_0}.$

Če se jo antilogaritmira, se dobi izraz za pojemanje gostote z višino:

$p(z)=p_0\exp (-\frac{Mgz}{RT}).$

Izraz je identičen prej izpeljanemu, če se postavi $z_0=RT/Mg$.