Brahistokrona

Brahistokrona (tudi brahistohrona, grško Predloga:Jezik-el2: brahistos - najkrajši + Predloga:Jezik-el2: kronos - čas) je ravninska krivulja, po kateri masna točka z začetno hitrostjo iz neke točke (A) pride v drugo točko (B) v najkrajšem času pod pogojem, da nanjo deluje konstanten gravitacijski pospešek in da trenje ni prisotno.

Brahistokrona je cikloida

Izhodišče koordinatnega sistema z vodoravno osjo x in navpično osjo y naj je v začetni legi drobnega telesa. Po Huygensovi enačbi ali po izreku o kinetični in potencialni energiji je:

$\frac{1}{2}m{v}^2-mgy=0.$

Za čas, ki ga potrebuje telo iz začetne do končne točke, se dobi:

$t=\int \frac{\mathrm{d}s}{v}=\underset{(1)}{\overset{(2)}{\int }}\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{2gy}},$

če je $\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2$ kvadrat elementa ločne dolžine. Določiti je treba tir y(x), pri katerem je pri dani začetni in končni točki čas t najkrajši. Takšne naloge sodijo v variacijski račun. Rešitev je cikloida, parametrično:

$x=r(\phi -\sin \phi ),$

$y=r(1-\cos \phi ).$

Krivuljo se dobi, če se misli, da se krog s polmerom r kotali po spodnji strani x. Hitro se ugotovi, da je:

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}s& =\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\phi }\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\phi }\right)}^2}\mathrm{d}\phi =\sqrt{r^2(1-\cos \phi {)}^2+r^2{\sin }^2\phi }\mathrm{d}\phi \\ & =\sqrt{2r^2(1-\cos \phi )}\mathrm{d}\phi =\sqrt{2ry}\mathrm{d}\phi \end{array}$

in čas:

$t=\sqrt{\frac{r}{g}}\phi .$

Zgodovina

Problem brahistokrone je postavil Johann Bernoulli in zanj leta 1696 prvi objavil rešitev, ki pa naj bi bila v resnici rešitev njegovega brata Jakoba. Spada med variacijske probleme, Johann Bernoulli pa velja za očeta variacijskega računa. Splošno nalogo za brahistokrono je rešil Leonhard Euler leta 1774.