Diagonalizabilna matrika

Diagonalizabilna matrika je matrika, ki je podobna diagonalni matriki. To pomeni, da mora obstajati takšna obrnljiva matrika $P$, da je matrika $P^{-1}AP$ diagonalna matrika.

Postopek pretvorbe matrike v diagonalno matriko imenujemo diagonalizacija.

Diagonalne matrike so zanimive zato, ker je delo z njimi zelo enostavno. Njihove lastne vrednosti in vektorji so znani in potenco matrike izračunamo tako, da potenciramo diagonalne elemente.

Lastnosti

Matrika $A$ z razsežnostjo $n\times n$ je diagonalizabilna nad obsegom $F$, če in samo, če je vsota razsežnost lastnih prostorov enaka $n$.

Diagonalizacija

Kadar je matrika $A$ diagonalizabilna, to pomeni, da velja

$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & {\lambda }_2\\ & & \ddots \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

V tem primeru je

$AP=P\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ & {\lambda }_2\\ & & \ddots \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$

Če pišemo $P$ kot bločno matriko s vrstičnimi vektorji

$P=\left(\begin{array}{cccc}{\overrightarrow{\alpha }}_1& {\overrightarrow{\alpha }}_2& \cdots & {\overrightarrow{\alpha }}_n\end{array}\right),$,

potem lahko pišemo zgornjo enačbo kot

$A{\overrightarrow{\alpha }}_i={\lambda }_i{\overrightarrow{\alpha }}_i(i=1,2,\cdots ,n)$.

Iz tega vidimo, da so stolpični vektorji matrike $P$ lastni vektorji matrike $A$, pripadajoče diagonalne vrednosti pa so lastne vrednosti.

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Diagonalizabilna matrika na MathWorld Predloga:Ikona en
• Diagonalizabilna matrika Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en