Dirichletova funkcija beta

Graf Dirichletove funkcije beta $y(x)=\beta (x)$ na intervalu [−8, 8]

Dirichletova funkcija beta (tudi Catalanova funkcija beta; običajna označba $\beta (s)$) je v matematiki in še posebej analitični teoriji števil specialna funkcija, tesno povezana z Riemannovo funkcijo ζ. Je posebni primer Dirichletove L-funkcije, L-funkcije z alternirajočim karakterjem periode 4. Imenuje se po nemškem matematiku Petru Gustavu Lejeuneu Dirichletu in včasih po belgijskem matematiku Eugèneu Charlesu Catalanu.

Definicija

Dirichletova funkcija β je definirana kot alternirajoča vrsta:

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s}=1-\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}-+\dots ,$

ali enakovredno kot:

$\beta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1+e^{-2x}}\mathrm{d}x,$

kjer je $\mathrm{\Gamma }(s)$ funkcija Γ. V obeh primerih je $\mathrm{\Re }(s)>0$.

S pomočjo Hurwitzeve funkcije ζ je Dirichletova funkcija β določena kot:

$\beta (s)=\frac{1}{4^s}[\zeta (s,\frac{1}{4})-\zeta (s,\frac{3}{4})],$

na celi kompleksni $s$-ravnini.

Z Lerchevim transcendentom je določena kot:

$\beta (s)=\frac{\mathrm{\Phi }(-1,s,\frac{1}{2})}{2^s},$

ki spet velja za vse kompleksne vrednosti $s$.

Vrsta za Dirichletovo funkcijo β se lahko tvori tudi s pomočjo funkcije poligama:

$\beta (s)=\frac{1}{2^s}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{{(n+\frac{1}{2})}^s}=\frac{1}{(-2{)}^{2s}(s-1)!}[{\psi }^{(s-1)}\left(\frac{1}{4}\right)-{\psi }^{(s-1)}\left(\frac{3}{4}\right)].$

Funkcijska enačba

Funkcijska enačba razširi Dirichletovo funkcijo β na levo stran kompleksne ravnine $\mathrm{\Re }(s)<0$. Dana je z:

$\beta (s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s-1}\mathrm{\Gamma }(1-s)\cos \frac{\pi s}{2}\beta (1-s).$

Značilnosti

Posebne vrednosti

Nekatere najpogosteje rabljene vrednosti Dirichletove funkcije β so:

$\beta (0)=\frac{1}{2},$

$\beta (1)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}1=\frac{\pi }{4}=0,7853981633974\dots ,$ Predloga:OEIS,

$\beta (2)=G=0,9159655941772\dots ,$ Catalanova konstanta, Predloga:OEIS,

$\beta (3)=\frac{{\pi }^3}{32}=0,9689461462593\dots ,$ Predloga:OEIS,

$\beta (4)=\frac{1}{768}[{\psi }_3\left(\frac{1}{4}\right)-8{\pi }^4]=0,9889445517411\dots ,$ Predloga:OEIS,

$\beta (5)=\frac{5{\pi }^5}{1536}=0,9961578280770\dots ,$ Predloga:OEIS,

$\beta (7)=\frac{61{\pi }^7}{184320}=0,9995545078905\dots ,$ Predloga:OEIS,

kjer je zgoraj ${\psi }_3(1/4)$ zgled funkcije poligama.

Euler je pokazal, da je v splošnem za lihe $s$, $\beta (s)$ racionalni mnogokratnik ${\pi }^s$, torej za poljubno pozitivno celo število $k$:

$\beta (2k+1)=\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}{\pi }^{2k+1}}{4^{k+1}(2k)!},$

kjer so $E_n$ Eulerjeva števila. Za celo število $k\ge 0$ velja:

$\beta (-k)=\frac{E_k}{2},$

oziroma:

$\beta (-2k)=\frac{E_{2k}}{2},$

Funkcija je tako enaka nič za vse lihe negativne celoštevilske vrednosti argumenta:

$\beta (-2k-1)=0.$

Tanguy Rivoal in Vadim Zudilin sta dokazala, da je vsaj eno od sedmih števil: $\beta (2)$, $\beta (4)$, $\beta (6)$, $\beta (8)$, $\beta (10)$, $\beta (12)$ ali $\beta (14)$ iracionalno.

Guillera in Sondow sta leta 2005 dokazala formulo z dvojnim integralom:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{[-\ln (xy){]}^s}{1+x^2{y}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{\Gamma }(s+2)\beta (s+2).$

Odvajanje

Odvod za vse $\mathrm{\Re }(s)>0$ je dan z:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\beta (s)\equiv {\beta }^{\prime }(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{\ln (2n+1)}{(2n+1{)}^s}.$

Nekatere posebne vrednosti odvodov:

${\beta }^{\prime }(-1)=\frac{2G}{\pi }=0,5831218080616\dots ,$

${\beta }^{\prime }(0)=\ln \frac{{\mathrm{\Gamma }}^2(1/4)}{2\pi \sqrt{2}}=0,3915943927068\dots ,$ Predloga:OEIS,

${\beta }^{\prime }(1)=\frac{\pi }{4}(\gamma +2\ln 2+3\ln \pi -4\ln \mathrm{\Gamma }(\frac{1}{4}))=0,1929013167969\dots ,$, Predloga:OEIS.

Za pozitivna cela števila $n$ velja še naprej:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\ln \frac{(4k+1{)}^{1/(4k+1{)}^n}}{(4k-1{)}^{1/(4k-1{)}^n}}=-{\beta }^{\prime }(n).$

Glej tudi

• Hurwitzeva funkcija zeta

Viri

• Predloga:Navedi knjigo Glej razdelek §23.2
• Predloga:Navedi revijo
• Predloga:Citat
• Predloga:Navedi revijo
• Predloga:Navedi knjigo

Zunanje povezaave

• Predloga:MathWorld