Elipsoid

Elipsoid z osmi (a, b, c) = (4, 2, 1)

Elipsoíd je ploskev drugega reda, ki je razširitev pojma elipsa na tri razsežnosti. Enačba v kartezičnem koordinatnem sistemu je:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$

kjer so a , b in c ekvatorialni polmeri vzdolž osi x, y in z. Števila a, b in c so pozitivna realna števila, ki določajo obliko elipsoida. Dolžine odsekov, ki jih ploskev določa na pripadajočih koordinatnih oseh (x, y, z), se imenujejo glavne polosi elipsoida. Za števila a , b in c lahko nastopijo naslednji primeri:

• $a=b=c:$ sfera;
• $a=b>c:$ sploščeni sferoid (oblika diska);
• $a=b<c:$ podolgovati sferoid (oblika cigare);
• $a>b>c:$ triosni elipsoid (tri različne polosi).

Kadar sta dve osi enaki, se nastala površina imenuje sferoid.

Parametrizirana oblika

V sfernem koordinatnem sistemu se lahko parametrizirano obliko enačbe elipsoida napiše kot:

$\begin{array}{cc}x& =a\sin (\theta )\cos (\phi );|\\ y& =b\sin (\theta )\sin (\phi );\\ z& =c\cos (\theta );\end{array}$

kjer je:

$+\theta {}^{\prime }$ kolatituda ali zenitni kot in $+\phi -$ dolžina ali azimut:

Kota lahko zavzameta naslednje vrednosti:

$\begin{array}{c}0\le \theta \le {180}^{\circ };0\le \phi \le {360}^{\circ };|\end{array}$

Površina

Površine elipsoida se ne da izračunati z uporabo samo elementarnih funkcij.

Izračuna se jo lahko s pomočjo naslednjega obrazca:

$S=2\pi (c^2+b\sqrt{a^2-c^2}E(o\epsilon ,m)+\frac{b{c}^2}{\sqrt{a^2-c^2}}F(o\epsilon ,m)),$

kjer pomeni:

$o\epsilon =\arccos \left(\frac{c}{a}\right)$ za sploščene elipsoide

$o\epsilon =\arccos \left(\frac{a}{c}\right)$ za podolgovate elipsoide

kot, ki se imenuje kotna izsrednost;

$m=\frac{b^2-c^2}{b^2\sin (o\epsilon {)}^2}$

$E(o\epsilon ,m)$ in $F(o\epsilon ,m)$ sta nepopolna eliptična integrala prvega in drugega reda.

Približna vrednost površine se dobi tudi s pomočjo naslednjega obrazca:

$S\approx 4\pi {\left(\frac{a^p{b}^p+a^p{c}^p+b^p{c}^p}{3}\right)}^{1/p}.$

kjer uporaba vrednosti p ≈ 1,6075 da relativno napako do največ 1,061 %. Vrednost p = 8/5 = 1,6 je najboljša za skoraj okrogle elipsoide (z relativno napako približno 1,178 %).

Prostornina

Zaradi nenatančnega izražanja se izraz elipsoid včasih uporablja tudi za geometrijsko telo, ki ga omejuje zgoraj opisana ploskev.Prostornino tega telesa se izračuna z obrazcem:

$V=\frac{4}{3}\pi abc.$

Kadar so vse polosi enake, se dobi prostornino krogle, če sta po dve polosi enaki pa prostornine sferoidov.

Glej tudi

• krogla
• sfera
• sferoid

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Animacija Predloga:Ikona en