Erdős-Borweinova konstanta

Erdős-Borweinova konstanta je vsota obratnih vrednosti Mersennovih števil. Imenuje se po Paulu Erdősu in Petru Borweinu.

Po definiciji velja Predloga:OEIS:

$E_{\mathrm{B}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}\approx 1,60669515241529176378\dots$

Dokazati je moč, da so naslednje oblike ekvivalentne prejšnji:

$E_{\mathrm{B}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1},$

$E_{\mathrm{B}}=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{mn}},$

$E_{\mathrm{B}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{d(n)}{2^n},$

$E_{\mathrm{B}}=1-\frac{{\psi }_{1/2}(1)}{\ln 2}.$

Tu $d(n)$ predstavlja aritmetično multiplikativno funkcijo, število pozitivnih deliteljev števila $n$, ${\psi }_q(z)$ pa funkcijo q-poligama.

Erdős je leta 1948 dokazal, da je konstanta E_B iracionalno število. Borwein pa je leta 1992 dokazal naprej, da je:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{q^n-r}$

iracionalno število pri $r\ne 0$.

Neskončni verižni ulomek konstante je [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...]

Sorodna konstanta je Predloga:OEIS:

$\begin{array}{cc}K& =\sum _{M_n\in \mathbb{P}}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{M_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{31}+\frac{1}{127}+\frac{1}{8191}+\frac{1}{131071}+\frac{1}{524287}+\frac{1}{2147483647}\dots \\ & \approx 0,51645417894078856533\dots ,\end{array}$

kjer nastopajo Mersennova praštevila in, ki je verjetno tudi iracionalno število.

Razmerje med konstantama je enako:

$\frac{E_{\mathrm{B}}}{K}\approx 3,11101200828795936235....$

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld