Funkcija Z

Funkcija Z je v matematiki funkcija uporabna pri raziskovanju Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice, kjer je realni del argumenta enak $1/2$. Imenuje se tudi Riemann-Sieglova funkcija Z, Hardyjeva funkcija, Hardyjeva funkcija Z ali Hardyjeva funkcija zeta. Lahko se definira z Riemann-Sieglovo funkcijo ϑ in Riemannovo funkcijo ζ kot:

$Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta (\frac{1}{2}+it).$

Velja še:

$|Z(t)|=|\zeta \left(\frac{1}{2}\right)+it|,(t\in ℝ).$

Iz funkcijske enačbe za Riemannovo funkcijo ζ sledi, da je funkcija Z realna za realne vrednosti $t$. Je soda funkcija in realna analitična za realne vrednosti. Iz dejstva, da sta Riemann-Sieglova funkcija ϑ in Riemannova funkcija ζ obe holomorfni na kritičnem traku, kjer je imaginarni del $t$ med -1/2 in 1/2, sledi, da je tudi funkcija Z holomorfna na kritičnem traku. Še več, realne ničle so točno ničle Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice, kompleksne ničle na kritičnem traku funkcije Z odgovarjajo ničlam zunaj kritične premice Riemannove funkcije ζ na njenem kritičnem traku.

Funkcija Z v kompleksni ravnini

$-5<\mathrm{\Re }(t)<5$	$-40<\mathrm{\Re }(t)<40$

Riemann-Sieglova formula

Riemann-Sieglova formula zelo izboljša računanje vrednosti funkcije $Z(t)$ za realne $t$ in tako tudi Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice:

$Z(t)=2\sum _{n^2<t/2\pi }{n}^{-1/2}\cos (\theta (t)-t\log n)+R(t),$

kjer je člen napake $R(t)$ asimptotično izražen v kompleksnem s funkcijo:

$\mathrm{\Psi }(z)=\frac{\cos 2\pi (z^2-z-1/16)}{\cos 2\pi z}$

in njenimi odvodi. Če je $u=(\frac{t}{2\pi }{)}^{1/4}$, $N=\lfloor u^2\rfloor$ in $p=u^2-N$, potem velja:

$R(t)\sim (-1{)}^{N-1}(\mathrm{\Psi }(p)u^{-1}-\frac{1}{96{\pi }^2}{\mathrm{\Psi }}^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots ),$

kjer tripičje označuje, da se lahko nadaljuje na višje in naraščajoče kompleksne člene.

Znane so druge učinkovite vrste za funkcijo $Z(t)$, še posebej z nepolno funkcijo Γ. Če je:

$Q(a,z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(a,z)}{\mathrm{\Gamma }(a)}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a)}\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{u}^{a-1}{e}^{-u}\mathrm{d}u,$

je posebej lep zgled:

$Z(t)=2\mathrm{\Re }\left(e^{i\theta (t)}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}Q(\frac{s}{2},\pi i{n}^2)-\frac{{\pi }^{s/2}{e}^{\pi is/4}}{s\mathrm{\Gamma }\left(\frac{s}{2}\right)})\right).$

Obnašanje funkcije Z

Iz izreka o kritični premici sledi, da je gostota realnih ničel funkcije Z enaka:

$\frac{c}{2\pi }\log \frac{t}{2\pi }$

za kakšno konstanto $c>2/5$. Tako število ničel na intervalu z dano velikostjo počasi narašča. Če je Riemannova domneva pravilna, so vse ničle na kritičnem traku realne ničle, konstanta pa je enaka $c=1$. Domneva se tudi, da so vse te ničle enostavne.

Izrek Omega

Zaradi ničel funkcije Z se funkcija obnaša nihajoče. Tudi počasi narašča tako v povprečju kot tudi ob vrhovih vrednostih. Brez Riemannove domneve izrek Omega pravi, da velja:

$Z(t)=\mathrm{\Omega }(\exp \left(\frac{3}{4}\sqrt{\frac{\log t}{\log \log t}}\right)),$

kjer zapis pomeni, da $Z(t)$ krat funkcija znotraj Ω ne teži k nič z naraščajočim $t$.

Povprečna rast

Raziskovali so tudi povprečno rast funkcije Z. Kvadratična sredina se lahko najde iz:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}Z(t{)}^2\mathrm{d}t\sim \log T,$

ali:

$\frac{1}{T}\underset{T}{\overset{2T}{\int }}Z(t{)}^2\mathrm{d}t\sim \log T,$

kar pove, da kvadratična sredina funkcije $Z(t)$ narašča kot $\sqrt{\log t}$. Ta ocena se lahko izboljša na:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}Z(t{)}^2\mathrm{d}t=\log T+(2\gamma -2\log (2\pi )-1)+𝒪(T^{-15/22}).$

Če se eksponent poveča, se dobi srednja vrednost, ki je bolj odvisna od vrhov vrednosti funkcije Z. Za četrte potence je:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}Z(t{)}^4\mathrm{d}t\sim \frac{1}{2{\pi }^2}(\log T{)}^4,$

od koder se lahko zaključi, da četrti koren srednje vrednosti četrte potence narašča kot $\frac{1}{2^{1/4}\sqrt{\pi }}\log t$.

Lindelöfova domneva

Raziskali so višje sode potence, manj pa je znanega o ustrezni srednji vrednosti. Domneva se in sledi iz Riemannove domneve, da velja:

$\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}Z(t{)}^{2k}\mathrm{d}t=o(T^{ϵ})$

za vsak pozitiven ε. Tukaj zapis z malim »o« pomeni, da leva stran deljena z desno stranjo konvergira k nič, oziroma, da je majhni o negacija Ω. Ta domneva se imenuje Lindelöfove domneva in je šibkejša od Riemannove domneve. Običajno se poda v pomembni enakovredni obliki:

$Z(t)=o(t^{ϵ})$

V obeh oblikah pravi, da stopnja rasti vrhov vrednosti ne more biti prevelika. Najboljša znana meja te stopnje ni močna, in pravi, da je primeren vsak $ϵ>\frac{89}{570}$. Bilo bi neverjetno najti, da funkcija Z kje narašča tako hitro kot to. Littlewood je dokazal, da ob pravilnosti Riemannove domneve velja:

$Z(t)=o(\exp \left(\frac{10\log t}{\log \log t}\right)),$

kar se zdi veliko bolj verjetno.

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Wolfram Research – Riemann-Siegel function Z (vključuje risanje grafov funkcije in računanje) Predloga:Ikona en