Harmonična funkcija

Harmonična funkcija $f$ je funkcija, za katero velja, Laplaceova diferencialna enačba $\mathrm{\Delta }f=0$. S pomočjo operatorja nabla Laplaceovo diferencialno enačbo zapišemo kot $\mathrm{\Delta }f=\mathrm{\nabla }\mathrm{\nabla }f=0$.

Kompleksni prostor: Če kompleksno spremenljivko z zapišemo v obliki $z=x+i*y$, lahko funkcijo kompleksne spremenljivke $f(z)$ zapišemo s pomočjo realnega in imaginarnega dela: $f=u(x,y)+i*v(x,y)$, pri čemer sta $u$ in $v$ realni funkciji dveh spremenljivk. Če je funkcija $f$ analitična (odvedljiva v $z_0$ in neki okolici $\delta$), zanjo veljata Cauchy-Riemannovi diferencialni enačbi $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ in $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.

Če parcialno odvajamo prvo enakost po $x$, drugo pa po $y$ in seštejemo, dobimo:

$\mathrm{\Delta }u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

Če parcialno odvajamo prvo enačbo po y, drugo pa po x in odštejemo, dobimo:

$\mathrm{\Delta }v=\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}=0$

To pomeni, da za analitično funkcijo kompleksne spremenljivke velja, da sta njen realni in imaginarni del harmonični funkciji. Imenujemo ju konjugiran par harmoničnih funkcij.