Hiperbolični kvaternion

Množenje hiperboličnih kvaternionov

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	+1	k	−j
j	j	−k	+1	i
k	k	j	−i	+1

Hiperbolični kvaternion je v algebrah nad obsegom določen z

$q=a+bi+cj+dk,a,b,c,d\in R$.

To je spremenjeni kvaternion, kjer namesto običajnega −1, uporabljamo

$i^2=j^2=k^2=+1$.

Štirirazsežna algebra hiperboličnih kvaternionov vključuje nekaj lastnosti bikvaternionov. Podobno kot lahko kvaternionsko algebro $ℍ$ gledamo kot unijo kompleksnih ravnin, tako je algebra hiperboličnih kvaternionov unijo števil, ki imajo skupno premico realnih števil.

Prvi jih je predlagal škotski logik, fizik in matematik Alexander Macfarlane (1851 – 1913) v letu 1890.

Hiperbolični kvaternioni tvorijo neasociativni kolobar.

Podobno kot kvaternion tvorijo tudi hiperbolični kvaternioni vektorski prostor nad realnimi števili v štirirazsežnem prostoru. Linearna kombinacija

$q=a+bi+cj+dk$

kjer

• $a,b,c,d$ so realna števila
• $\{1,i,j,k\}$ je baza za katero velja

$ij=k=-ji$

$jk=i=-kj$

$ki=j=-ik$

$i^2=+1=j^2=k^2$

je hiperbolični kvaternion.

Če je

$q^{*}=a-bi-cj-dk$

konjugirana vrednost hiperboličnega kvaterniona $q$, potem je

$q(q^{*})=a^2-b^2-c^2-d^2$

kvadratna forma, ki se uporablja v teoriji prostor-časa