Bikvaternion

Bikvaternion (tudi dvojni kvaternion) je v abstraktni algebri število z obliko $w+xi+yj+zk$,

kjer so

• $x,y,z$ kompleksna števila
• $1,i,j,k$ elementi, ki se množijo kot v kvaternionski grupi.

Podobno kot imamo tri tipe kompleksnih števil, imamo tudi tri tipe bikvaternionov

• običajne kvaternione, ko so koeficienti navadna kompleksna števila
• hiperbolične kvaternione, ko so $w,x,y,z$ hiperbolična števila
• Studyjevi kvaternioni (dualni kvaternioni), če so $w,x,y,z$ dualna števila.

Definicija

Če je $1,i,j,k$ baza kvaternionov in so $u,v,w,x$ kompleksna števila, potem je bikvaternion $q$ enak

$q=u1+vi+wj+xk$

Da bi ločila kvadratni koren iz -1 nad skalarnim obsegom $ℂ$ v kvaternionih sta irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton (1805 - 1865) in irski matematik Arthur William Conway (1875 – 1950) prevzela dogovor, da je oznaka enaka $h$, ker je $i$ v kvaternionski grupi. To pomeni, da je

$hi=ih$, $hj=jh$, in $hk=kh$, ker je $h$ skalar.

Značilnosti

Algebra bikvaternionov je asociativna, ni pa komutativna. Lahko se obravnava kot tenzorski produkt $ℂ\otimes ℍ$ (nad realnimi števili), kjer je $ℂ$ obseg kompleksnih števil in $ℍ$ je algebra kvaternionov. Bikvaternioni so samo kompleksifikacija realnih kvaternionov.

Bikvaternioni imajo dve konjugirani obliki

• kvaternionska konjugacija $q^{*}=w-xi-yj-zk$
• kompleksna konjugacija kvaternionskih koeficientov

$q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }i+y^{\star }j+z^{\star }k$ kjer je

• $z^{\star }=a-bh$ kadar je $z=a+bh,a,b\in R,h^2=-1$.

Pri tem pa velja

$(pq{)}^{*}=q^{*}{p}^{*},(pq{)}^{\star }=p^{\star }{q}^{\star },(q^{*}{)}^{\star }=(q^{\star }{)}^{*}$.

Vloga v teoriji kolobarjev

Linearna predstavitev

Poglejmo zmnožek dveh matrik:

$\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)$.

Vsak izmed treh skupin podatkov ima kvadrat, ki je enak negativni enotski matriki. Če zmnožek matrik prikažemo kot $ij=k$, potem se dobi podgrupa matričnih grup, ki je izmorfna kvaternionski grupi. To pomeni, da

$\left(\begin{array}{cc}u+iv& w+ix\\ -w+ix& u-iv\end{array}\right)$

predstavlja kvaternion.

Podalgebre

Če obravnavamo bikvaternionsko algebro nad skalarnim obsegom realnih števil $ℝ$, potem tvori bazo $1,h,i,hi,hj,hk$ tako, da ima algebra osem realnih razsežnosti. Pri tem pa je

$(hi{)}^2=h^2{i}^2=(-1)(-1)=+1$.

Podalgebra bikvaternionov je izomorfna ravnini hiperboličnih števil, ki imajo algebraično strukturo zgrajeno okoli hiperbol. Elementa $hj$ in $hk$ tudi določata takšne podalgebre. Pri tem pa je $\{x+yj:x,y\in C\}$ algebra, ki je izomorfna s tesarinami.

Tretjo podalgebro določata $hj$ in $hk$. Pri tem je treba upoštevati, da je $(hj)(hk)=(-1)i$ in, da je kvadrat tega elementa enak -1. Ti elementi generirajo dihedralno grupo kvadratov. Linearni podprostor z bazo $1,i,hj,hk$ tvori kokvaternionsko algebro.

Zunanje povezave

• Bikvaternionska formulacija relativistične tenzorske dinamike Predloga:Ikona en