Katenoid

Katenoid

Animacija, ki kaže spremembo helikoida v katenoid.

Fizični model katenoida, ki se ga je dobilo s pomočjo dveh obročev, potopljenih v milnico. Po dvigu obročev iz milnice se obroča počasi razmika.

Katenoid (iz latinske besede catena, kar pomeni veriga) je trirazsežna ploskev, ki se nastane z vrtenjem verižnice okrog osi z.

Katenoid je prva odkrita minimalna ploskev. Odkril jo je leta 1741 švicarski matematik, fizik in astronom Leonhard Euler (1707 – 1783). Da je katenoid minimalna ploskev, je leta 1776 dokazal tudi Mongeev učenec Jean Baptiste Meusnier. Znani sta samo dve minimalni ploskvi: to sta ravnina in katenoid. Katenoid je tudi edina minimalna ploskev, ki nastane z vrtenjem neke krivulje.

Katenoid se lahko definira z naslednjimi tremi parametričnimi enačbami:

$x(u,v)=c\mathrm{ch}\frac{v}{c}\cos u,$

$y(u,v)=c\mathrm{ch}\frac{v}{c}\sin u,$

$z(u,v)=v,$

kjer je:

• $u$ realni parameter
• $v$ realni parameter
• $c$ neničelna realna konstanta
• $\mathrm{ch}(u)$ hiperbolični kosinus
• $\cos (u)$ trigonometrična funkcija kosinus
• $\sin (u)$ trigonometrična funkcija sinus

V cilindričnih koordinatah je to:

$\rho =c\mathrm{ch}\frac{z}{c},$

kjer je:

• $c$ neničelna realna konstanta

Katenoid nastane tudi iz helikoida brez raztegovanja (glej animacijo na desni).

Viri

• Predloga:Navedi knjigo

Zunanje povezave

• Verižnica in katenoid Predloga:Ikona sl
• Predloga:MathWorld
• Različne oblike katenoidov Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Spreminjanje katenoida v helikoid (z animacijo) Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en