Knuthova notacija

V matematiki je Knuthova gornjepuščična notacija metoda zapisovanja zelo velikih celih števil. Izumil jo je Donald Knuth leta 1976.

Stopnjevanje

Množenje lahko na naslednji način zapišemo v obliki seštevanja:

$\begin{array}{ccc}a\times b& =& \underbrace{a+a+\dots +a}\\ & & b\text{ kopij }a\end{array}$

Za primer:

$\begin{array}{ccccc}3\times 4& =& \underbrace{3+3+3+3}& =& 12\\ & & 4\text{ kopije }3\end{array}$

Tudi potenciranje se da zapisati v obliki množenja:

$\begin{array}{cc}a\uparrow b=a^b=& \underbrace{a\times a\times \dots \times a}\\ & b\text{ kopij }a\end{array}$

Za primer:

$\begin{array}{cccc}3\uparrow 2=3^2=& \underbrace{3\times 3}& =& 9\\ & 2\text{ kopiji }3\end{array}$

Enako se zgodi tudi z tetracijo:

$\begin{array}{ccccc}a\uparrow \uparrow b& ={}^{b}a=& \underbrace{a^{a^{{}^{.{}^{.{}^{.{}^a}}}}}}& =& \underbrace{a\uparrow a\uparrow \dots \uparrow a}\\ & & b\text{ kopij }a& & b\text{ kopij }a\end{array}$

Za primer:

$\begin{array}{ccccccc}3\uparrow \uparrow 2& ={}^{2}3=& \underbrace{3^3}& =& \underbrace{3\uparrow 3}& =& 27\\ & & 2\text{ kopiji }3& & 2\text{ kopiji }3\end{array}.$

Primeri tetracije zapisane v Knuthovi gornjepuščični notaciji:

$3\uparrow \uparrow 2=3^3=27$

$3\uparrow \uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$

$3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^3}}=3^{7625597484987}$ (samo zapis tega števila bi zavzel približno 1,37 terabajta prostora)

$3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^3}}}=3^{3^{7625597484987}}$

itn.

V Knuthovi gornjepuščični notaciji pa se da zapisati tudi pentacijo:

$\begin{array}{cc}a\uparrow \uparrow \uparrow b=& \underbrace{a_{}\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow a}\\ & b\text{ kopij }a\end{array}$

Heksacija:

$\begin{array}{cc}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=& \underbrace{a_{}\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a}\\ & b\text{ copies of }a\end{array}$

In tako naprej.

Pravilo pa je:

$\begin{array}{c}a\underbrace{{\uparrow }_{}\uparrow \dots \uparrow }b=a\underbrace{\uparrow \dots \uparrow }a\underbrace{{\uparrow }_{}\dots \uparrow }a\dots a\underbrace{{\uparrow }_{}\dots \uparrow }a\\ n\underbrace{n_{}-1n-1n-1}\\ b\text{ copies of }a\end{array}$

Primeri:

$3\uparrow \uparrow 2=3\uparrow 3=27$

$3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$

$\begin{array}{cc}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=& \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3}\\ & 3\uparrow 3\uparrow 3\text{ copies of }3\end{array}\begin{array}{cc}=& \underbrace{3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3}\\ & \text{7,625,597,484,987 copies of 3}\end{array}$