Diofantska enačba

Diofántske enáčbe so v matematiki enačbe oblike f = 0, kjer je f polinom s celoštevilskimi koeficienti ene ali več spremenljivk, ki zavzamejo celoštevilske vrednosti. Imenujejo se po Diofantu, ki je raziskoval enačbe s spremenljivkami z racionalnimi vrednostmi. Zgledi diofantskih enačb so:

$ax+by=1$	linearna diofantska enačba (Glej Bézoutova enakost).
$x^n+y^n=z^n$	Za n = 2 obstaja več rešitev (x,y,z), pitagorejske trojice. Za večje vrednosti n, Fermatov veliki izrek trdi, da ne obstajajo pozitivne celoštevilske rešitve x, y, z zgornje enačbe.
$x^2-n{y}^2=\pm 1$	Pellova enačba, imenovana pomotoma po Johnu Pellu. Raziskovala sta jo Brahmagupta in de Fermat.
$x^2+y^2+z^2=3xyz$	kvadratna enačba Markova
$x^2+y^2+z^2=t^2$	pitagorejske četvorke.
$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i{y}^{n-i}=c$, $n\ge 3$, $c\ne 0$	Thueve enačbe in so v splošnem rešljive.
$x^a-y^b=1$	diofantska enačba Tijdemanovega izreka in Catalanove domneve.
$x^m+y^n=z^k$	diofantska enačba Fermat-Catalanove domneve.
$x^4+y^4+z^4+t^4=(x+y+z+t{)}^4$	Eulerjeva enačba četrte stopnje.
$\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$, oziroma v polinomski obliki 4xyz=n(xy+xz+yz).	Erdős-Strausova domneva pravi, da za vsak celi n ≥ 2 obstaja rešitev, kjer so x, y in z vsi pozitivna cela števila.

Linearne diofantske enačbe

Linearna diofantska enačba ene spremenljivke ima obliko:

$ax=c,$

kjer st a in c dani celi števili. Enačba je rešljiva, če in samo če je c mnogokratnik a, c/a pa je edina rešitev.

Zgled:

$3x=42.$

Rešitev je:

$x=\frac{42}{3}=14.$

Najpreprostejša linearna diofantska enačba dveh spremenljivk ima obliko:

$ax+by=c.$

Če je c največji skupni delitelj števil a in b, potem je to Bézoutova enakost. To pomeni, da ima enačba neskončno mnogo rešitev. Te se lahko najdejo z razširjenim Evklidovim algoritmom. Enačba ima neskončno mnogo rešitev tudi, če je c mnogokratnik največjega skupnega deljitelja števil a in b. Če c ni mnogokratnik največjega skupnega delitelja števil a in b, potem linearna diofantska enačba nima rešitev. Če je (x, y) osnovna rešitev, imajo druge rešitve obliko (x − vk, y + uk), kjer je k poljubno celo število, u in v pa sta količnika a in b z največjim skupnim deliteljem a in b.

Zgled:

$12x+42y=30.$

Največji skupni delitelj števil 12 in 42 je $\mathrm{D}(12,42)=6$ in 30 je njegov mnogokratnik. u = 12/6 = 2, v = 42/6 = 7, osnovna rešitev pa je (x, y) = (−1, 1). Druge rešitve so (−1 − 7k, 1 + 2k):

$(-8,3),(-15,5),(-22,7),(-29,9),(-36,11),\cdots ,k>0$

$(6,-1),(13,-3),(20,-5),(27,-7),(34,-9),(41,-11),\cdots ,k<0.$

Glej tudi

• diofantska množica