Kvadratna funkcija

Kvadrátna fúnkcija je realna funkcija, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

$f(x)=a{x}^2+bx+c,$

kjer so koeficienti a, b in c realna števila in je a različen od 0 (če bi bil a enak 0, bi bila to linearna funkcija).

Teme kvadratne funkcije

Graf funkcije $f(x)=x^2-x-2$

Kvadratno funkcijo lahko vedno preoblikujemo v temensko obliko:

$f(x)=a(x-p{)}^2+q.$

Števili p in q, ki nastopata v temenski obliki, sta koordinati točke, kjer kvadratna funkcija doseže ekstremno vrednost. To točko imenujemo tême: T(p,q).

Koordinati temena izračunamo po formulah:

$p=-\frac{b}{2a}q=\frac{4ac-b^2}{4a}.$

Teme omogoča lažje risanje grafa kvadratne funkcije.

Ničli kvadratne funkcije

Kvadratna funkcija ima lahko eno ali dve ničli, lahko pa je tudi brez ničel. Ničli izračunamo po formuli:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Število, ki nastopa pod kvadratnim korenom, imenujemo diskriminanta ($D=b^2-4ac$) in pišemo tudi:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.$

Diskriminanta nam pove, koliko ničel ima kvadratna funkcija, tj. kolikokrat graf kvadratne funkcije seka abscisno os:

• če je diskriminanta pozitivna, ima funkcija dve (realni) ničli - graf seka os x v dveh točkah.
• če je diskriminanta enaka 0, ima funkcija eno (realno) ničlo - graf se v eni točki dotika osi x.
• če je diskriminanta negativna, funkcija nima (realnih) ničel - graf ne seka osi x. (V kompleksnem lahko izračunamo dve ničli, ki pa se ju v običajnem realnem koordinatnem sistemu ne vidi).

Če ima kvadratna funkcija ničli $x_1,x_2$, lahko njeno enačbo preoblikujemo v ničelno obliko:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).$

Posplošitev

Posplošena kvadratna funkcija je funkcija $f:{ℝ}^n\to ℝ$, ki se jo da zapisati z enačbo oblike:

$f(𝐱)=\frac{1}{2}{𝐱}^T𝐐𝐱+{𝐜}^T𝐱,$

kjer je Q simetrična matrika razsežnosti n×n in c vektor razsežnosti n.

Glej tudi

• kvadratna enačba