Legendrova transformacija

Legendrova transformácija [ležándrova ~] je v matematiki dvočlena involucijska aritmetična operacija, s katero lahko izrazimo funkcijo z drugo množico spremenljivk. Imenuje se po francoskem matematiku Adrienu-Marieu Legendru.

Naj bo funkcija f funkcija dveh spremenljivk, x in y. Popolni diferencial te funkcije je enak:

$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y.$

Vpeljemo lahko novi spremenljivki u in v:

$u=\frac{\partial f}{\partial x},$

$v=\frac{\partial f}{\partial y}.$

Z njima lahko popolni diferencial zapišemo kot:

$\mathrm{d}f=u\mathrm{d}x+v\mathrm{d}y.$

Množico spremenljivk lahko zamenjamo tako, da definiramo funkcijo g(u, y):

$g=f-ux.$

Popolni diferencial te funkcije je enak:

$\mathrm{d}g=\mathrm{d}f-u\mathrm{d}x-x\mathrm{d}u.$

Če upoštevamo še izraz za popolni diferencial df, dobimo:

$\mathrm{d}g=-x\mathrm{d}u+v\mathrm{d}y.$

Pri tem velja:

$x=-\frac{\partial g}{\partial u},$

$v=\frac{\partial g}{\partial y}.$

Tako definirana funkcija g je Legendrova transformiranka funkcije f.

Legendrova transformacija se veliko uporablja v fiziki, npr. v analitični mehaniki, kjer povezuje Lagrangeevo in Hamiltonovo funkcijo, v termodinamiki pri definiciji termodinamskih potencialov ter v kvantni mehaniki pri transformaciji med p- in q-reprezentacijo.