Lehmerjeva matrika

Lehmerjeva matrika je konstantna simetrična matrika za katero velja

A_{i j} = {\begin{matrix} i / j, & j \geq i \\ j / i, & j < i . \end{matrix}

.

To lahko zapišemo tudi kot

A_{i j} = \frac{min (i, j)}{max (i, j)} .

Primeri

Podani so primeri nekaterih Lehmerjevih matrik in njihove obratne matrike:

\begin{matrix} A_{2} = (\begin{matrix} 1 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 1 \end{matrix}); & A_{2}^{- 1} = (\begin{matrix} 4 / 3 & - 2 / 3 \\ - 2 / 3 & 4 / 3 \end{matrix}); \\ A_{3} = (\begin{matrix} 1 & 1 / 2 & 1 / 3 \\ 1 / 2 & 1 & 2 / 3 \\ 1 / 3 & 2 / 3 & 1 \end{matrix}); & A_{3}^{- 1} = (\begin{matrix} 4 / 3 & - 2 / 3 \\ - 2 / 3 & 32 / 15 & - 6 / 5 \\ - 6 / 5 & 9 / 5 \end{matrix}); \\ A_{4} = (\begin{matrix} 1 & 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 \\ 1 / 2 & 1 & 2 / 3 & 1 / 2 \\ 1 / 3 & 2 / 3 & 1 & 3 / 4 \\ 1 / 4 & 1 / 2 & 3 / 4 & 1 \end{matrix}); & A_{4}^{- 1} = (\begin{matrix} 4 / 3 & - 2 / 3 \\ - 2 / 3 & 32 / 15 & - 6 / 5 \\ - 6 / 5 & 108 / 35 & - 12 / 7 \\ - 12 / 7 & 16 / 7 \end{matrix}) . \end{matrix}

kadar je $A$ Lehmerjeva matrika $n \times n$ in $B$ Lehmerjeva matrika $m \times m$ , potem je $A$ podmatrika matrike $B$ pri čemer pa je $m > n$ . Vrednost elementov matrike se manjša proti nič v smeri proč od diagonale.
obratna matrika Lehmerjeve matrika je tridiagonalna matrika, ki ima vrednosti na diagonali nad glavno diagonalo (naddiagonali) in diagonali pod glavno diagonalo (podddiagonali) vedno negativne.