Mercatorjeva vrsta

Mercatorjeva vŕsta ali Newton-Mercatorjeva vŕsta [njúton-merkátorjeva ~] je v matematiki Taylorjeva vrsta za naravni logaritem. Dana je z:

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots ,$

za $-1<x\le 1$. Za kompleksne vrednosti x enolično konvergira k glavni vrednosti kompleksnega logaritma za vse x v odprtem enotskem disku.

Zgodovina

Vrsto so neodvisno odkrili Nicholas Mercator, Isaac Newton in Grégoire de Saint-Vincent. Prvi jo je objavil Mercator v svoji razpravi Logarithmo-technica iz leta 1668.

Izpeljava

Taylorjevi polinomi za ${\log }_e$(1+x) so točni v območju -1 < x ≤ 1. Za x > 1 so Taylorjevi polinomi višje stopnje slabši približki

Vrsto se lahko izpelje s ponavljajočim odvajanjem naravnega logaritma. Odvod je:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{x}.$

Lahko se začne tudi z geometrično vrsto ($t\ne -1$)

$1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}=\frac{1-(-t{)}^n}{1+t},$

ki da:

$\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t}.$

Sledi:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-\cdots +(-t{)}^{n-1}+\frac{(-t{)}^n}{1+t})\mathrm{d}t$

in z integracijo po členih:

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+(-1{)}^n\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t.$

Če je $-1<x\le 1$, je člen ostanka enak nič pri $n\to \mathrm{\infty }$.

Posebni primeri

Pri $x=1$ je Mercatorjeva vrsta alternirajoča harmonična vrsta:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2=\eta (1),$

kjer je $\eta (z)$ Dirichletova funkcija η.

Viri

• Predloga:Navedi splet
• Predloga:Navedi knjigo
• Predloga:MathWorld