Odvod količnika

Predloga:Infinitezimalni račun V infinitezimalnem računu je odvod količnika metoda iskanja odvoda funkcije, ki je razmerje dveh odvedljivih funkcij. Naj je $f(x)=g(x)/h(x),$ kjer sta $g$ in $h$ odvedljivi in $h(x)\ne 0.$ Pravilo količnika pravi, da je odvod funkcije $f(x)$ enak

$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}.$

Primeri

1. Osnovni primer:

   $\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\frac{e^x}{x^2}& =\frac{\left(\frac{d}{dx}{e}^x\right)(x^2)-(e^x)\left(\frac{d}{dx}{x}^2\right)}{(x^2{)}^2}\\ & =\frac{(e^x)(x^2)-(e^x)(2x)}{x^4}\\ & =\frac{e^x(x-2)}{x^3}.\end{array}$

2. Odvod količnika se lahko uporabi za iskanje odvoda $f(x)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$:

   $\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\tan x& =\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}\\ & =\frac{(\frac{d}{dx}\sin x)(\cos x)-(\sin x)(\frac{d}{dx}\cos x)}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x.\end{array}$

Dokazi

Dokaz iz definicije odvoda in lastnosti limite

Naj je $f(x)=g(x)/h(x).$ Z uporabo definicije odvoda in lastnosti limite, dobimo spodnji dokaz.

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{\frac{g(x+k)}{h(x+k)}-\frac{g(x)}{h(x)}}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k\cdot h(x)h(x+k)}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}\cdot \underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{h(x)h(x+k)}\\ & =\left(\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x)+g(x)h(x)-g(x)h(x+k)}{k}\right)\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =(\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)h(x)-g(x)h(x)}{k}-\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x)h(x+k)-g(x)h(x)}{k})\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =(h(x)\underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)-g(x)}{k}-g(x)\underset{k\to 0}{\lim }\frac{h(x+k)-h(x)}{k})\cdot \frac{1}{h(x{)}^2}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}.\end{array}$

Dokaz z implicitnim odvajanjem

Naj je $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)},$ torej $g(x)=f(x)h(x).$ Pravilo produkta nam poda $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)h(x)+f(x)h^{\prime }(x).$ Rešimo za $f^{\prime }(x)$ in vrnemo $f(x)$ ter dobimo:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{g^{\prime }(x)-f(x)h^{\prime }(x)}{h(x)}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)-\frac{g(x)}{h(x)}\cdot h^{\prime }(x)}{h(x)}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}.\end{array}$

Dokaz z odvodom kompozituma

Naj bo $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=g(x)h(x{)}^{-1}.$ Tako nam pravilo kompozituma da

$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)h(x{)}^{-1}+g(x)\cdot \frac{d}{dx}(h(x{)}^{-1}).$

Da dobimo odvod v drugem delu, uporabimo odvod potence in odvod kompozituma:

$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)h(x{)}^{-1}+g(x)\cdot (-1)h(x{)}^{-2}{h}^{\prime }(x).$

Na koncu še prepišemo kot ulomke in združimo skupne člene ter dobimo

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{g^{\prime }(x)}{h(x)}-\frac{g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}\\ & =\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}.\end{array}$

Formule za višje odvode

Za izračun Predloga:Mvar-tega odvoda količnika lahko uporabimo implicitno odvajanje (delno v prvih Predloga:Matematična formula odvodih). Na primer, dvakratno odvajanje funkcije $fh=g$ (ki je $f^{″}h+2f^{\prime }{h}^{\prime }+f{h}^{″}=g^{″}$) in reševanje za $f^{″}$ poda

$f^{″}=\left(\frac{g}{h}\right)=\frac{g^{″}-2f^{\prime }{h}^{\prime }-f{h}^{″}}{h}.$