Paposova veriga

Paposova veriga.

Paposova veriga v arbelosu.

Paposova veriga je skupina krožnic, ki ležijo znotraj arbelosa.

Prvi je verigo skonstruiral grški matematik, geometer in filozof Papos (okoli 290, okoli 350).

Konstrukcija

Arbelos je določen z dvema krožnicama C_u in C_v, ki sta tangentna v točki A kjer se C_u dotika C_v. Označimo polmere teh dveh krožnic z r_u in r_v. Papusova veriga je sestavljena iz krožnic v osenčenem področju (glej sliko, zgoraj na desni). Vse krožnice se dotikajo notranje ali zunanje krožnice. Označimo z r_n polmer n-te krožnice. Z d_n označimo premer n-te krožnice. S P_n pa označimo središčne točke (središča) teh krožnic.

Značilnosti

Središča krožnic

Elipsa

Vsa središča krožnic Paposove verige ležijo na elipsi. Vsota razdalj n-te krožnice iz Paposove verige do središč U in V arbelosovih krožnic je konstantna

$\overline{{𝐏}_n𝐔}+\overline{{𝐏}_n𝐕}=(r_U+r_n)+(r_V-r_n)=r_U+r_V$.

To pa pomeni, da sta gorišči točki U in V, ki sta središči krožnic za določitev arbelosa.

Koordinate

Če je r = AC/AB, potem je središče n-te krožnice verige, v točki

$(x_n,y_n)=(\frac{r(1+r)}{2[n^2(1-r{)}^2+r]},\frac{nr(1-r)}{n^2(1-r{)}^2+r})$

Polmeri krožnic

Če je r = AC/AB, potem je polmer n-te krožnice enak

$r_n=\frac{(1-r)r}{2[n^2(1-r{)}^2+r]}$

Steinerjeva veriga

V značilnostih je Paposova veriga analogna Steinerjevi verigi.

Glej tudi

• Steinerjeva veriga

Zunanje povezave

• Paposova veriga na MathWorld Predloga:Ikona en
• Veriga včrtanih krožnic Predloga:Ikona en
• Paposova veriga na WolframAlpha Predloga:Slepa povezava Predloga:Ikona en