Pozitivno definitna matrika

Pozitivno definitna matrika je matrika, ki je v mnogih podrobnostih analogna pozitivnim realnim številom.

Definicija

Realna simetrična matrika $M$ razsežnosti $n\times n$ je pozitivno definitna, če za vse neničelne vektorje $z$ z realnimi elementi ($z\in {ℝ}^n$) velja $z^{T}Mz>0$.

Kompleksna matrika $M$ z razsežnostjo $n\times n$ je pozitivno definitna, če je ℜ(z^*Mz) > 0 za vse neničelne kompleksne vektorje $z$, kjer z^* pomeni konjugirano transponirani vektor $z$ in ℜ(c) je realni del števila $c$.

Kompleksna hermitska matrika $M$ z razsežnostjo $n\times n$ je pozitivno definitna, če je $z^{*}Mz>0$ za vse neničelne kompleksne vektorje $z$. Pri tem je vrednost $z^{*}Mz>0$ vedno realna.

V literaturi se uporablja enolična definicija pozitivne definitnosti za hermitske matrike. Večji problem so nehermitske matrike, ker ni splošnega dogovora o definiciji pozitivne definitnosti zanje.

Zgledi

Matrika

$M_0=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ je pozitivno definitna.

Za vektor $\mathbf{\text{z}}=\left[\begin{array}{c}{z}_0\\ z_1\end{array}\right]$ velja $\left[\begin{array}{cc}{z}_0& z_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{z}_0\\ z_1\end{array}\right]=z_0^2+z_1^2;$. Če sta $z_0$ ali $z_1$, realna ali je vsaj eden od njiju različen od nič, potem je vrednost pozitivna.

Nasprotno pa matrika

$M_2=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$

ni pozitivno definitna, ker za vektor

$\mathbf{\text{z}}=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$

velja

$\left[\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=-2<0$.

To pa pomeni, da matrika ni pozitivno definitna.

Značilnosti

• hermitska matrika je negativno definitna, če so vse njene lastne vrednosti negativne. Podobno velja tudi za p.
• lastne vrednosti ${\lambda }_i$ matrike $M$, ki je pozitivno definitna, so pozitivne.
• naslednje matrike $M$, ki je pozitivno definitna, imajo pozitivne determinante (glej Sylvestrov kriterij)
  • zgornji levi kot matrike $M$ z razsežnostjo $1\times 1$
  • zgornji levi kot matrike $M$ z razsežnostjo $2\times 2$
  • zgornji levi kot matrike $M$ z razsežnostjo $3\times 3$
  • ….
  • sama matrika $M$
• vedno obstoja takšna spodnje trikotna matrika $L$, ki vsebuje strogo pozitivne elemente, da lahko zapišemo

$M=L.L^{*}$

kjer je

• • $L^{*}$ konjugirano transponirana matrika matrike $L$.
• vsaka pozitivno definitna matrika je tudi obrnljiva. Njena obratna matrika je tudi pozitivno definitna.
• če je matrika $M$ pozitivno definitna in je $r$ realno število, potem je tudi $rM$pozitivno definitna matrika

Vse zgornje značilnosti veljajo za realne in kompleksne matrike. Pri tem je treba samo zamenjati ${ℂ}^n$ z ${ℝ}^n$ in konjugirano transponiranje z izrazom transponiranje.

Negativno definitna, semidefinitna in nedefinitna matrika

Hermitska matrika razsežnosti $n\times n$ z oznako $M$ je negativno definitna, če zanjo velja:

$x^{*}Mx<0$

za vse $x\in {ℂ}^n$ (za realne matrike pa $x\in {ℝ}^n$)

Kadar pa velja:

$x^{*}Mx\ge 0$

za vse $x\in {ℂ}^n$ (oziroma $x\in {ℝ}^n$ za realne matrike) je matrika pozitivno semidefinitna (tudi nenegativno definitna).

Matrika je negativno semidefinitna, če je:

$x^{*}Mx\le 0.$

Hermitska matrika, ki ni pozitivno niti negativno definitna, je nedefinitna.

Glej tudi

• pozitivno definitna funkcija
• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld
• Pozitivna definitnost na PlanethMath Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en
• Lastnosti pozitivno definitne matrike Predloga:Ikona en