Konjugirano transponirana matrika

Konjugirano transponirana matrika (oznaka $A^{\ast }$) (tudi hermitska transponirana in hermitska konjugirana matrika) matrike $A$ z razsežnostjo $m\times n$ in elementi, ki so kompleksni, je matrika $A^{\ast }$, ki jo dobimo iz transponirane v kateri vse elemente spremenimo v konjugirano kompleksne. Za posamezne elemente lahko to zapišemo kot:

$(A^{\ast }{)}_{ij}=\overline{A_{ji}},$

kjer je:

• $A^{\ast }$ konjugirano transponirana matrika matrike $A$

• $\overline{A_{ji}}$ so konjugirane vrednosti elementa $A_{ij}$
• $i$, $j$ sta zaporedni številki vrstice oziroma stolpca (pozor: indeksa sta zamenjana)
• $i$ lahko zavzame vrednosti $1\le i\le n$
• $j$ lahko zavzame vrednosti $1\le j\le m$

To lahko zapišemo tudi kot:

$A^{\ast }=(\bar{A}{)}^{\mathrm{T}}=\overline{A^{\mathrm{T}}},$

kjer je:

• $A^T$ transponiranje matrike $A$
• $\bar{A}$ pomeni konjugirano kompleksno vrednost za vse elemente matrike

Konjugirano transponirane matrike označujejo še na nekaj načinov. Običajno je način označevanja odvisen tudi od področja uporabe:

• $A^H$ se uporablja v linearni algebri
• $A^{†}$ se uporablja v kvantni mehaniki
• $A^{+}$ se uporablja za konjugirano transponirano matriko in za Moore-Penroseov psevdoinverz

Zgled

Če imamo matriko:

$A=\left[\begin{array}{cc}3+i& 5\\ 2-2i& i\end{array}\right],$

potem je njena konjugirano transponirana matrika enaka:

$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cc}3-i& 2+2i\\ 5& -i\end{array}\right].$

Značilnosti

• Konjugirano transponirana matrika vsote dveh matrik z isto razsežnostjo je enaka vsoti konjugirano transponiranih matrik $(A+B{)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast }$
• Za poljubno kompleksno število $r$ velja $(rA{)}^{\ast }=r^{\ast }.A^{\ast }$, kjer je $r^{\ast }$ konjugirano kompleksno število števila $r$
• Konjugirano transponirana matrika zmnožka dveh matrik $A$ (z razsežnostjo $m\times n$) in $B$ (z razsežnostjo $n\times p$) je zmnožek konjugirano transponiranih matrik $(AB{)}^{\ast }<math>=B^{\ast }.A^{\ast }$ (pozor: vrstni red je obrnjen)
• Za poljubno matriko $A$ velja tudi $(A^{\ast }{)}^{\ast }=A$
• Če je $A$ kvadratna matrika, potem je determinanta $\det (A^{\ast })=(\det A{)}^{\ast }$
• Če je $A$ kvadratna matrika, potem je sled matrike enaka $sl(A^{\ast })=(slA{)}^{\ast }$ .
• Če in samo, če je matrika $A^{\ast }$ obrnljiva matrika, potem velja $(A^{\ast }{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\ast }$
• Lastne vrednosti matrike $A^{\ast }$ so konjugirano kompleksne lastne vrednosti matrike $A$
• Če so elementi matrike $A$ realni, potem je matrika $A^{\ast }$ enaka transponirani $A^T$
• Če za kvadratno matriko $A$ velja $A^{\ast }=A$, potem je matrika sebi adjungirana ali hermitska
• matrika je poševnohermitska matrika ali antihermitska, če je $A^{\ast }=-A$
• matrika je normalna, če velja $A^{\ast }A=A{A}^{\ast }$.

Glej tudi

• adjungirana matrika
• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Konjugirano transponirana matrika na MathWorld Predloga:Ikona en
• Konjugirano transponirana matrika Predloga:Ikona en
• Nekatere lastnosti konjugirano transponirane matrike Predloga:Webarchive Predloga:Ikona en