Primorielno praštevilo

Primorielno praštevilo (Predloga:Jezik-en) je v matematiki praštevilo oblike:

$p_n\mathrm{\#}\pm 1,$

kjer je p_n# primoriela praštevila $p_n$ – produkt prvih $n$ praštevil.

Po tej definiciji:

• je p_n# + 1 praštevilo za n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, 75, 171, 172, 384, 457, 616, 643, 1391, 1613, 2122, 2647, 2673, ... Predloga:OEIS
• je p_n# − 1 praštevilo za n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, 66, 68, 167, 287, 310, 352, 564, 590, 620, 849, 1552, 1849, ... Predloga:OEIS

Števila oblike $p_n\mathrm{\#}+1$, ki niso nujno praštevila, se imenujejo Evklidova števila Predloga:OEIS. Prva Evklidova števila, ki niso praštevila, so Predloga:OEIS:

30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 7420738134811, 304250263527211, 13082761331670031, ...

Prva skoraj primorielna praštevila so Predloga:OEIS:

2, 3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, ...

Primorielna praštevila oblike p_n# + 1

Prva primorielna praštevila oblike $p_n\mathrm{\#}+1$ so Predloga:OEIS:

(2), 3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131, ...

Prva praštevila za katera obstajajo primorielna praštevila oblike $p_n\mathrm{\#}+1$ (trenutno je znanih 22 takšnih praštevil) so Predloga:OEIS:

2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029, 42209, 145823, 366439, 392113, ...

Število 2 je sicer najmanjše primorielno praštevilo. Pri tem velja, da je prazni produkt po dogovoru enak 1 in 0# + 1 = 1# + 1 = 2. Načeloma pa število 2 ni oblike $p_n\mathrm{\#}+1$, ker število 1 ($p_0$) po definiciji ni niti praštevilo niti sestavljeno število.

Primorielna praštevila oblike p_n# − 1

Prva primorielna praštevila oblike $p_n\mathrm{\#}-1$ so Predloga:OEIS:

5, 29, 2309, 30029, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309, ...

Prva praštevila za katera obstajajo primorielna praštevila oblike $p_n\mathrm{\#}-1$ (trenutno je znanih 18 takšnih praštevil) so Predloga:OEIS:

3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033, 15877, ...

Največje znano primorielno praštevilo

Od 28. februarja 2012 je največje znano primorielno praštevilo 1098133# − 1 (n = 85586) s 476.311 števkami najdeno v projektu PrimeGrid.

Število primorielnih praštevil

Evklidov dokaz o neskončnem številu praštevil velikokrat napačno tolmačijo z definicijo primorielnih praštevil v naslednjem smislu:

Naj so prva n zaporedna praštevila vključno s številom 2 edina, ki obstajajo. Če je p_n# + 1 ali p_n# − 1 primorielno praštevilo, pomeni, da obstajajo večja praštevila od n-tega praštevila (če nobeno ni praštevilo, tudi to dokazuje neskončno število praštevil, vendar manj neposredno. Vsako od teh dveh števil ima ostanek ali p − 1 ali 1, ko se deli z enim od prvih n praštevil, in zato ne more biti mnogokratnik nobenega od njiju).

Ni znano ali obstaja neskončno mnogo primorielnih praštevil, oziroma Evklidovih števil, ki so praštevila.

Neskončni verižni ulomek

Konstanti neskončnih verižnih ulomkov primorielnih praštevil obeh oblik sta:

$u_{p+}=[0;3,7,31,211,2311,200560490131,\dots ]=0,318248165083\dots ,$ Predloga:OEIS,

$u_{p-}=[0;5,29,2309,30029,30425026352720,\dots ]=0,198630157303\dots ,$ Predloga:OEIS.

Glej tudi

• Evklidovo število
• fakultetno praštevilo
• PrimeGrid
• primoriela

Viri

• Predloga:Citat
• Predloga:Citat

Nadaljnje branje

• A. Borning, "Some Results for $k!+1$ and $2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1$" Math. Comput. 26 (1972): 567–570.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial na Prime Pages.
• Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197–203.
• Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld