Projekcija (linearna algebra)

Projekcija je v linearni algebri linearna transformacija $P$ iz vektorskega prostora v samega sebe tako, da je $P^2=P$. Projekcija ohranja sliko nespremenjeno.

preslikava P je pravokotna projekcija na premico m.

Pravokotna projekcija

Pravokotna ali ortogonalna projekcija točk $(x,y,z)$ iz evklidskega prostora $R^3$ na ravnino x-y lahko prikažemo z matriko

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

Delovanje te projekcije na poljubno točko lahko zapišemo kot

$P\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 0\end{array}\right)$.

Preslikava T je projekcija vzdolž k na premico m.

Poševna projekcija

Enostaven primer nepravokotne oziroma poševne projekcije točk na premico se lahko opiše z matriko

$T=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right].$.

Lahko se pokaže, da je

$T^2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \alpha & 1\end{array}\right]=T.$

to pa pomeni, da je $T$ res projekcija.

Projekcija $T$ je pravokotna samo, če in samo, če je $\alpha =0$.