Sanje nezrelega

Grafa funkcij $y=1/x^x$ in $y=x^x$ v intervalu [0,1]

Sánje nèzrélega je v matematiki občasni naziv za enakosti (OEIS Predloga:OEIS2, Predloga:OEIS2):

$\begin{array}{cc}{I}_2& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{x^x}\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}=1,29128599706266354\dots ,\\ I_1& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^x\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}=0,78343051071213440\dots ,\end{array}$

ki ju je leta 1697 odkril Johann Bernoulli.

Ime "sanje nezrelega", ki se pojavi v Predloga:Harv je podobno imenu "sanje začetnika", ki se nanaša na nepravilno identiteto Predloga:Nowrap. Sanje nezrelega imajo podoben predobro-da-bi-bilo-res občutek, ampak velja.

Dokaz

Dokaže se druga enakost. Dokaz za prvo je popolnoma enak.

Dokaz poteka po korakih:

• zapiše se x^x = exp(x ln x),
• exp(x ln x) se razvije s potenčno vrsto za exp,
• integrira se členoma,
• integrira se z vpeljavo spremenljivke.

x^x se razvije kot:

$x^x=e^{x\ln x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\ln x{)}^n}{n!}.$

Vrsta se členoma integrira:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^x\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\ln x{)}^n}{n!}\mathrm{d}x.$

Izračunajo se členi z integracijo po delih. Najprej se integrira člen $\int x^m(\ln x{)}^n\mathrm{d}x$ z uvedbo spremenljivke $u=(\ln x{)}^n$, kjer je $\mathrm{d}v=x^m\mathrm{d}x$. Tako sledi:

$\int x^m(\ln x{)}^n\mathrm{d}x=\frac{x^{m+1}(\ln x{)}^n}{m+1}-\frac{n}{m+1}\int x^{m+1}\frac{(\ln x{)}^{n-1}}{x}\mathrm{d}x,m\in {\mathbb{Z}}_0\setminus -1$

in naprej:

$\int x^m(\ln x{)}^n\mathrm{d}x=\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(m+1{)}^i}(\ln x{)}^{n-i},$

kjer je $(n{)}_i$ Pochhammerjev simbol za padajočo fakulteto.

V tem primeru je m = n in obe števili sta celi, tako da je:

$\int x^n(\ln x{)}^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(n+1{)}^i}(\ln x{)}^{n-i}.$

Z integracijo od 0 do 1, izginejo vsi členi razen zadnjega pri 1 (vsi členi so v 0 enaki nič, ker je $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^m(\ln x{)}^n=0$ po l'Hôpitalovem pravilu, in vsi členi razen zadnjega so v 1 enaki nič, ker je $\ln (1)=0$), tako da sledi:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\ln x{)}^n}{n!}\mathrm{d}x=\sum _{i=0}^n\frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}(-1{)}^n\frac{(n{)}_n}{(n+1{)}^n}=\sum _{i=0}^n(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$

Enačba sledi, če se dvigne indeks na $n=1$.

Verižna ulomka

Neskončna verižna ulomka za številske vrednosti enakosti sta (OEIS Predloga:OEIS2, Predloga:OEIS2):

$I_2=[1;3,2,3,4,3,1,2,1,1,6,7,2,5,3,1,2,\dots ]=\{1,\frac{4}{3},\frac{9}{7},\frac{31}{24},\frac{133}{103},\frac{430}{333},\frac{563}{436},\frac{1556}{1205},\dots \},$

$I_1=[0;1,3,1,1,1,1,1,1,2,4,7,2,1,2,1,1,\dots ]=\{0,1,\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{7}{9},\frac{11}{14},\frac{18}{23},\frac{29}{37},\frac{47}{60},\frac{123}{157},\dots \}.$

Zunanje povezave

• Predloga:MathWorld

Predloga:Iracionalno število